高二数学同步训练题
1.已知函数y=f(x)的定义域为D,若对于任意的x1,x2D(x1x2),都有fx1+x22()
A.y=log2x B.y=x
C.y=x2 D.y=x3
解析:可以根据图象直观观察;对于C证明如下:
欲证fx1+x22
即证x1+x222
即证(x1-x2)20.显然成立.故原不等式得证.
答案:C
2.设a,b,c(-,0),则a+1b,b+1c,c+1a()
A.都不大于-2 B.都不小于-2
C.至少有一个不大于-2 D.至少有一个不小于-2
解析:因为a+1b+b+1c+c+1a-6,所以三者不能都大于-2.
答案:C
3.凸函数的性质定理为:如果函数f(x)在区间D上是凸函数,则对于区间D内的任意x1,x2,,xn,有fx1+fx2++fxnnfx1+x2++xnn,已知函数y=sin x在区间(0,)上是凸函数,则在△ABC中,sin A+sin B+sin C的`最大值为________.
解析:∵f(x)=sin x在区间(0,)上是凸函数,
且A、B、C(0,),
fA+fB+fC3fA+B+C3=f3,
即sin A+sin B+sin C3sin 3=332,
所以sin A+sin B+sin C的最大值为332.
答案:332
4.已知常数p0且p1,数列{an}的前n项和Sn=p1-p(1-an),数列{bn}满足bn+1-bn=logpa2n-1且b1=1.
(1)求证:数列{an}是等比数列;
(2)若对于在区间[0,1]上的任意实数,总存在不小于2的自然数k,当nk时,bn(1-)(3n-2)恒成立,求k的最小值.
解:(1)证明:当n2时,an=Sn-Sn-1=p1-p(1-an)-p1-p(1-an-1),整理得an=pan-1.由a1=S1=p1-p(1-a1),得a1=p0,则恒有an=pn0,从而anan-1=p.所以数列{an}为等比数列.
(2)由(1)知an=pn,则bn+1-bn=logpa2n-1=2n-1,
所以bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)++(b2-b1)+b1=n2-2n+2,
所以n2-2n+2(1-)(3n-2),则(3n-2)+n2-5n+40在[0,1]时恒成立.
记f()=(3n-2)+n2-5n+4,由题意知,f00f10,解得n4或n1.又n2,所以n4.
综上可知,k的最小值为4.
高二同步数学练习题
1.若xy0,则对 xy+yx说法正确的是()
A.有最大值-2B.有最小值2
C.无最大值和最小值 D.无法确定
答案:B
2.设x,y满足x+y=40且x,y都是正整数,则xy的最大值是()
A.400 B.100
C.40 D.20
答案:A
3.已知x2,则当x=____时,x+4x有最小值____.
答案:2 4
4.已知f(x)=12x+4x.
(1)当x0时,求f(x)的最小值;
(2)当x0 时,求f(x)的.最大值.
解:(1)∵x0,12x,4x0.
12x+4x212x4x=83.
当且仅当12x=4x,即x=3时取最小值83,
当x0时,f(x)的最小值为83.
(2)∵x0,-x0.
则-f(x)=12-x+(-4x)212-x-4x=83,
当且仅当12-x=-4x时,即x=-3时取等号.
当x0时,f(x)的最大值为-83.
高二数学必修同步训练练习及答案
1.若数列{an}的通项公式是an=(-1)n(3n-2),则a1+a2++a10=()
A.15B.12C.-12D.-15
解析:a1+a2++a10=-1+4-7+10++(-1)10(310-2)=(-1+4)+(-7+10)++[(-1)9(39-2)+(-1)10(310-2)]=35=15.
答案:A
2.数列{an}的通项an=nn2+90,则数列{an}中的最大值是()
A.310 B.19
C.119 D.1060
解析:因为an=1n+90n,运用基本不等式得,1n+90n1290,由于nN_,不难发现当n=9或10时,an=119最大.
答案:C
3.(2014年银川模拟)设数列{an}满足:a1=2,an+1=1-1an,记数列{an}的前n项之积为Tn,则T2 013的值为()
A.-12 B.-1
C.12 D.2
解析:由a2= 12,a3=-1,a4=2可知,数列{an}是周期为3的周期数列,从而T2 013=(-1)671=-1.
答案:B
4.已知每项均大于零的数列{an}中,首项a1=1且前n项和Sn满足SnSn-1-Sn-1Sn=2SnSn-1(nN_且n2),则a81=()
A.638 B.639
C.640 D.641
解析:由已知SnSn-1-Sn-1Sn=2SnSn-1可得,Sn-Sn-1=2,{Sn}是以1为首项,2为公差的等差数列,故Sn=2n-1,Sn=(2n-1)2,a81=S81-S80=1612-1592=640,故选C.
答案:C
5.(2014年长沙模拟)已知函数f(x)是定义在(0,+)上的`单调函数,且对任意的正数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y),若数列{an}的前n项和为Sn,且满足f(Sn+2)-f(an)=f(3)(nN_),则an为()
A.2n-1 B.n
C.2n-1 D.32n-1
解析:由题意知f(Sn+2)=f(an)+f(3)(nN_),Sn+2=3an,Sn-1+2=3an-1(n2),两式相减得,2an=3an-1(n2),又n=1时,S1+2=3a1=a1+2,a1=1,数列{ an}是首项为1,公比为32的等比数列,an=32n-1.
答案:D
6.(2014年石家庄模拟)已知数列{an}满足:a1=1,an+1=anan+2(nN_).若bn+1= (n-)1an+1,b1=-,且数列{bn}是单调递增数列,则实数的取值范围为()
A.2 B.3
C.2 D.3
解析:由已知可得1an+1=2an+1,1an+1+1=21an+1,1a1+1=20,则1an+1=2n,bn+1=2n(n-),bn=2n-1(n-1-)(n2,).b1=-也适合上式,故bn=2n-1(n-1-)(nN_).由bn+1bn,得2n(n-)2n-1(n-1-),即
答案:C
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