《正方形》的教案设计
一、教学目的
1.掌握正方形的概念、性质和判定,并会用它们进行有关的论证和计算.
2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别,通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育,提高学生的逻辑思维能力.
二、重点、难点
1.教学重点:正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系.
2.教学难点:正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用.
三、例题的意图分析
本节课安排了三个例题,例1是教材P111的例4,例2与例3都是补充的题目.其中例1与例2是正方形性质的应用,在讲解时,应注意引导学生能正确的运用其性质.例3是正方形判定的应用,它是先判定一个四边形是矩形,再证明一组邻边,从而可以判定这个四边形是正方形.随后可以再做一组判断题,进行练习巩固(参看随堂练习1),为了活跃学生的思维,也可以将判断题改为下列问题让学生思考:
①对角线相等的菱形是正方形吗?为什么?
②对角线互相垂直的矩形是正方形吗?为什么?
③对角线垂直且相等的四边形是正方形吗?为什么?如果不是,应该加上什么条件?
④能说“四条边都相等的四边形是正方形”吗?为什么?
⑤说“四个角相等的四边形是正方形”对吗?
四、课堂引入
1.做一做:用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形.
学生在动手做中对正方形产生感性认识,并感知正方形与矩形的关系.问题:什么样的四边形是正方形?
正方形定义:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
指出:正方形是在平行四边形这个大前提下定义的,其定义包括了两层意:
(1)有一组邻边相等的平行四边形 (菱形)
(2)有一个角是直角的平行四边形 (矩形)
2.【问题】正方形有什么性质?
由正方形的定义可以得知,正方形既是有一组邻边相等的矩形,又是有一个角是直角的菱形.
所以,正方形具有矩形的性质,同时又具有菱形的性质.
五、例习题分析
例1(教材P111的例4) 求证:正方形的`两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
已知:四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O(如图).
求证:△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形.
证明:∵ 四边形ABCD是正方形,
AC=BD, ACBD,
AO=CO=BO=DO(正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分).
△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形,
并且 △ABO ≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
例2 (补充)已知:如图,正方形ABCD中,对角线的交点为O,E是OB上的一点,DGAE于G,DG交OA于F.
求证:OE=OF.
分析:要证明OE=OF,只需证明△AEO≌△DFO,由于正方形的对角线垂直平分且相等,可以得到AOE=DOF=90,AO=DO,再由同角或等角的余角相等可以得到EAO=FDO,根据ASA可以得到这两个三角形全等,故结论可得.
证明:∵ 四边形ABCD是正方形,
AOE=DOF=90,AO=DO(正方形的对角线垂直平分且相等).
又 DGAE, EAO+AEO=EDG+AEO=90.
EAO=FDO.
△AEO ≌△DFO.
OE=OF.
例3 (补充)已知:如图,四边形ABCD是正方形,分别过点A、C两点作l1∥l2,作BMl1于M,DNl1于N,直线MB、DN分别交l2于Q、P点.
求证:四边形PQMN是正方形.
分析:由已知可以证出四边形PQMN是矩形,再证△ABM≌△DAN,证出AM=DN,用同样的方法证AN=DP.即可证出MN=NP.从而得出结论.
证明:∵ PNl1,QMl1,
PN∥QM,PNM=90.
∵ PQ∥NM,
四边形PQMN是矩形.
∵ 四边形ABCD是正方形
BAD=ADC=90,AB=AD=DC(正方形的四条边都相等,四个角都是直角).
2=90.
又 2=90, 3.
△ABM≌△DAN.
AM=DN. 同理 AN=DP.
AM+AN=DN+DP
即 MN=PN.
四边形PQMN是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形).
六、随堂练习
1.正方形的四条边____ __,四个角___ ____,两条对角线____ ____.
2.下列说法是否正确,并说明理由.
①对角线相等的菱形是正方形;( )
②对角线互相垂直的矩形是正方形;( )
③对角线垂直且相等的四边形是正方形;( )
④四条边都相等的四边形是正方形;( )
⑤四个角相等的四边形是正方形.( )
1. 已知:如图,四边形ABCD为正方形,E、F分别
为CD、CB延长线上的点,且DE=BF.
求证:AFE=AEF.
4.如图,E为正方形ABCD内一点,且△EBC是等边三角形,
求EAD与ECD的度数.
七、课后练习
1.已知:如图,点E是正方形ABCD的边CD上一点,点F是CB的延长线上一点,且DE=BF.
求证:EAAF.
2.已知:如图,△ABC中,C=90,CD平分ACB,DEBC于E,DFAC于F.求证:四边形CFDE是正方形.
3.已知:如图,正方形ABCD中,E为BC上一点,AF平分DAE交CD于F,求证:AE=BE+DF.
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