关于高一数列知识点总结

时间：2023-08-17 07:09:54 文/黄飞老师总结学文网www.xuewenya.com

　　求数列通项公式常用以下几种方法：

　　一、题目已知或通过简单推理判断出是等比数列或等差数列，直接用其通项公式。

　　例：在数列{an}中，若a1=1，an+1=an+2（n1），求该数列的通项公式an。

　　解：由an+1=an+2（n1）及已知可推出数列{an}为a1=1，d=2的等差数列。所以an=2n—1。此类题主要是用等比、等差数列的定义判断，是较简单的基础小题。

　　二、已知数列的前n项和，用公式

　　S1（n=1）

　　Sn—Sn—1（n2）

　　例：已知数列{an}的前n项和Sn=n2—9n，第k项满足5

　　（A）9（B）8（C）7（D）6

　　解：∵an=Sn—Sn—1=2n—10，∴5<2k—10<8∴k=8选（B）

　　此类题在解时要注意考虑n=1的情况。

　　三、已知an与Sn的关系时，通常用转化的方法，先求出Sn与n的关系，再由上面的（二）方法求通项公式。

　　例：已知数列{an}的前n项和Sn满足an=SnSn—1（n2），且a1=—，求数列{an}的通项公式。

　　解：∵an=SnSn—1（n2），而an=Sn—Sn—1，SnSn—1=Sn—Sn—1，两边同除以SnSn—1，得———=—1（n2），而—=—=—，∴{—}是以—为首项，—1为公差的等差数列，∴—=—，Sn=—，

　　再用（二）的.方法：当n2时，an=Sn—Sn—1=—，当n=1时不适合此式，所以，

　　—（n=1）

　　—（n2）

　　四、用累加、累积的方法求通项公式

　　对于题中给出an与an+1、an—1的递推式子，常用累加、累积的方法求通项公式。

　　例：设数列{an}是首项为1的正项数列，且满足（n+1）an+12—nan2+an+1an=0，求数列{an}的通项公式

　　解：∵（n+1）an+12—nan2+an+1an=0，可分解为[（n+1）an+1—nan]（an+1+an）=0

　　又∵{an}是首项为1的正项数列，∴an+1+an≠0，∴—=—，由此得出：—=—，—=—，—=—，…，—=—，这n—1个式子，将其相乘得：∴—=—，

　　又∵a1=1，∴an=—（n2），∵n=1也成立，∴an=—（n∈N*）

　　五、用构造数列方法求通项公式

　　题目中若给出的是递推关系式，而用累加、累积、迭代等又不易求通项公式时，可以考虑通过变形，构造出含有an（或Sn）的式子，使其成为等比或等差数列，从而求出an（或Sn）与n的关系，这是近一、二年来的高考热点，因此既是重点也是难点。

　　例：已知数列{an}中，a1＝2，an+1=（——1）（an+2），n=1，2，3，……

　　（1）求{an}通项公式

　　（2）略

　　解：由an+1=（——1）（an+2）得到an+1——＝（——1）（an——）

　　∴{an——}是首项为a1——，公比为——1的等比数列。

　　由a1＝2得an——=（——1）n—1（2——），于是an=（——1）n—1（2——）+—

　　又例：在数列{an}中，a1=2，an+1=4an—3n+1（n∈N*），证明数列{an—n}是等比数列。

　　证明：本题即证an+1—（n+1）=q（an—n）（q为非0常数）

　　由an+1=4an—3n+1，可变形为an+1—（n+1）=4（an—n），又∵a1—1=1，

　　所以数列{an—n}是首项为1，公比为4的等比数列。

　　若将此问改为求an的通项公式，则仍可以通过求出{an—n}的通项公式，再转化到an的通项公式上来。

　　又例：设数列{an}的首项a1∈（0，1），an=—，n=2，3，4……

　　（1）求{an}通项公式。

　　（2）略

　　解：由an=—，n=2，3，4，……，整理为1—an=——（1—an—1），又1—a1≠0，所以{1—an}是首项为1—a1，公比为——的等比数列，得an=1—（1—a1）（——）n—1