数学归纳法证明的步骤

时间：2023-08-15 03:44:13 文/秦风学老师证明学文网www.xuewenya.com

　　基本步骤

　　（一）第一数学归纳法：

　　一般地,证明一个与自然数n有关的命题P(n）,有如下步骤：

　　（1）证明当n取第一个值n0时命题成立.n0对于一般数列取值为0或1,但也有特殊情况；

　　（2）假设当n=k（k≥n0,k为自然数）时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.

　　综合（1）（2）,对一切自然数n（≥n0）,命题P(n）都成立.

　　（二）第二数学归纳法：

　　对于某个与自然数有关的命题P(n）,

　　（1）验证n=n0时P(n）成立；

　　（2）假设n0≤nn0）成立,能推出Q(k）成立,假设 Q(k）成立,能推出 P(k+1）成立；

　　综合（1）（2）,对一切自然数n（≥n0）,P(n）,Q(n）都成立.

　　原理

　　最简单和常见的数学归纳法是证明当n等于任意一个自然数时某命题成立。证明分下面两步：

　　证明当n= 1时命题成立。

　　假设n=m时命题成立，那么可以推导出在n=m+1时命题也成立。（m代表任意自然数）

　　这种方法的原理在于：首先证明在某个起点值时命题成立，然后证明从一个值到下一个值的过程有效。当这两点都已经证明，那么任意值都可以通过反复使用这个方法推导出来。把这个方法想成多米诺效应也许更容易理解一些。例如：你有一列很长的直立着的多米诺骨牌，如果你可以：

　　证明第一张骨牌会倒。

　　证明只要任意一张骨牌倒了，那么与其相邻的下一张骨牌也会倒。

　　解题要点

　　数学归纳法对解题的形式要求严格，数学归纳法解题过程中，

　　第一步：验证n取第一个自然数时成立

　　第二步：假设n=k时成立，然后以验证的条件和假设的条件作为论证的依据进行推导，在接下来的推导过程中不能直接将n=k+1代入假设的原式中去。

　　最后一步总结表述。

　　需要强调是数学归纳法的两步都很重要，缺一不可，否则可能得到下面的荒谬证明：

　　证明1：所有的马都是一种颜色

　　首先，第一步，这个命题对n=1时成立，即，只有1匹马时，马的颜色只有一种。

　　第二步，假设这个命题对n成立，即假设任何n匹马都是一种颜色。那么当我们有n+1匹马时，不妨把它们编好号：

　　1, 2, 3……n, n+1

　　对其中（1、2……n）这些马，由我们的假设可以得到，它们都是同一种颜色；

　　对（2、3……n、n+1）这些马，我们也可以得到它们是一种颜色；

　　由于这两组中都有（2、3、……n）这些马，所以可以得到，这n+1种马都是同一种颜色。

　　这个证明的.错误来于推理的第二步：当n=1时，n+1=2，此时马的编号只有1、2，那么分的两组是（1）和（2）——它们没有交集，所以第二步的推论是错误的。数学归纳法第二步要求n→n+1过程对n=1，2，3……的数都成立，而上面的证明就好比多米诺骨牌的第一块和第二块之间间隔太大，推倒了第一块，但它不会推倒第二块。即使我们知道第二块倒下会推倒第三块等等，但这个过程早已在第一和第二块之间就中断了。

　　证明2：举例证明下面的定理

　　——等差数列求和公式

　　第一步，验证该公式在 n = 1 时成立。即有左边=1，右边=

　　=1，所以这个公式在n = 1时成立。

　　第二步，需要证明假设n = m 时公式成立，那么可以推导出n = m+1 时公式也成立。步骤如下：

　　假设n = m 时公式成立，即

　　（等式1）

　　然后在等式两边同时分别加上m + 1 得到

　　（等式2）

　　这就是n = m+1 时的等式。我们下一步需要根据等式1证明等式2 成立。通过因式分解合并，等式2的右边

　　也就是

　　这样我们就完成了由n=m成立推导出n=m+1成立的过程，证毕。