九年级数学相似三角形作业讲评课教案1
相似三角形 - 初中数学第三册教案
相似三角形的性质教学示例1
(第1课时)
一、教学目标
1.使学生进一步理解相似比的概念，掌握相似三角形的性质定理1.
2.学生掌握综合运用相似三角形的判定定理和性质定理1来解决问题.
3.进一步培养学生类比的教学思想.
4.通过相似性质的学习，感受图形和语言的和谐美
二、教法引导
先学后教，达标导学
三、重点及难点
1.教学重点：是性质定理1的应用.
2.教学难点 ：是相似三角形的判定1与性质等有关知识的综合运用.
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
投影仪、胶片、常用画图工具.
六、教学步骤
[复习提问]
1.三角形中三种主要线段是什么?
2.到目前为止，我们学习了相似三角形的哪些性质?
3.什么叫相似比?
[讲解新课]
根据相似三角形的定义，我们已经学习了相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
下面我们研究相似三角形的其他性质(见图).
建议让学生类比“全等三角形的`对应高、对应中线、对应角平分线相等”来得出性质定理1.
性质定理1：相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分的比都等于相似比
∽ ，
，
教师启发学生自己写出“已知、求证”，然后教师分析证题思路，这里需要指出的是在寻找判定两三角形相似所欠缺的条件时，是根据相似三角形的性质得到的，这种综合运用相似三角形判定与性质的思维方法要向学生讲清楚，而证明过程可由学生自己完成.
分析示意图：结论→∽(欠缺条件)→∽(已知)
∽ ，
BM=MC，
∽ ，
以上两种情况的证明可由学生完成.
[小结]
本节主要学习了性质定理1的证明，重点掌握综合运用相似三角形的判定与性质的思维方法.
七、布置作业
教材P241中3、教材P247中A组3.
八、板书设计
相似三角形的性质教学示例1
(第1课时)
一、教学目标
1.使学生进一步理解相似比的概念，掌握相似三角形的性质定理1.
2.学生掌握综合运用相似三角形的判定定理和性质定理1来解决问题.
3.进一步培养学生类比的教学思想.
4.通过相似性质的学习，感受图形和语言的和谐美
二、教法引导
先学后教，达标导学
三、重点及难点
1.教学重点：是性质定理1的应用.
2.教学难点 ：是相似三角形的判定1与性质等有关知识的综合运用.
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
投影仪、胶片、常用画图工具.
六、教学步骤
[复习提问]
1.三角形中三种主要线段是什么?
2.到目前为止，我们学习了相似三角形的哪些性质?
3.什么叫相似比?
[讲解新课]
根据相似三角形的定义，我们已经学习了相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
下面我们研究相似三角形的其他性质(见图).
建议让学生类比“全等三角形的对应高、对应中线、对应角平分线相等”来得出性质定理1.
性质定理1：相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分的比都等于相似比
∽ ，
，
教师启发学生自己写出“已知、求证”，然后教师分析证题思路，这里需要指出的是在寻找判定两三角形相似所欠缺的条件时，是根据相似三角形的性质得到的，这种综合运用相似三角形判定与性质的思维方法要向学生讲清楚，而证明过程可由学生自己完成.
分析示意图：结论→∽(欠缺条件)→∽(已知)
∽ ，
BM=MC，
∽ ，
以上两种情况的证明可由学生完成.
[小结]
本节主要学习了性质定理1的证明，重点掌握综合运用相似三角形的判定与性质的思维方法.
七、布置作业
教材P241中3、教材P247中A组3.
八、板书设计
九年级数学相似三角形作业讲评课教案2
相似三角形
相似三角形判定定理:
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。)
(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。)
(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等(或三个角分别对应相等)，那么这两个三角形相似。
直角三角形判定定理:
(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
相似三角形性质定理:
(1)相似三角形的对应角相等。
(2)相似三角形的对应边成比例。
(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
(4)相似三角形的周长比等于相似比。
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
判定定理推论
推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。
推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。
推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。
推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。
推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
性质
1.相似三角形对应角相等，对应边成比例。
2.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比。
3.相似三角形周长的比等于相似比。
4.相似三角形面积的比等于相似比的平方。
5.相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方
6.若a:b =b:c，即b的平方=ac,则b叫做a,c的比例中项
7.c/d=a/b 等同于ad=bc.
8.必须是在同一平面内的三角形里
(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例.
(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.
(3)相似三角形周长的比等于相似比
公式要领总结：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。
九年级数学相似三角形作业讲评课教案3
一、本章的两套定理 第一套(比例的有关性质)：
涉及概念：
①第四比例项
②比例中项
③比的前项、后项，比的内项、外项
④黄金分割等。
第二套：
注意：
①定理中对应二字的含义;
②平行相似(比例线段)平行。
二、相似三角形性质
1.对应线段
2.对应周长
3.对应面积。
三、相关作图
①作第四比例项;
②作比例中项。
四、证(解)题规律、辅助线
1.等积变比例，比例找相似。
2.找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的.比表示出来
3.添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。
4.对比例问题，常用处理方法是将一份看着k;对于等比问题，常用处理办法是设公比为k。
5.对于复杂的几何图形，采用将部分需要的图形(或基本图形)抽出来的办法处理。
五、 应用举例(略)
九年级数学相似三角形作业讲评课教案4
(一)相似三角形
1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形. 2、相似三角形对应边的比叫做相似比.
3、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似. 强调：
①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言： ∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE;
②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理.它不但本身有着广泛的
应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”; ③有了预备定理后，在解题时不但要想到 “见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”.
(二)相似三角形的判定
1、相似三角形的判定：
判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。 例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE.
例2、如图，E、F分别是△ABC的边BC上的点，DE∥AB,DF∥AC , 求证：△ABC∽△DEF.
B
E
F
D
A
判定定理2：如果三角形的两组对应边的.比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似. 例1、△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD?AB，那么△ACD与△ABC相似吗?说说你的理由.
例2、如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形。 (1)当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB? (2)当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数。
判定定理3：如果三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
简单说成：三边对应成比例，两三角形相似.
强调：
①有平行线时，用预备定理;
②已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定定理1或判定定理2;
③已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理2或判定定理3.但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等.
2、直角三角形相似的判定：
斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似.
例1、已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点.求证：△ADQ∽△QCP.
例2、如图,AB⊥BD,CD⊥BD,P为BD上一动点,AB=60 cm,CD=40 cm,BD=140 cm,当P点在BD上由B点向D点运动时,PB的长满足什么条件,可以使图中的两个三角形相似?请说明理由
.
例3、已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°，
EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。
求证：(1)△AME∽△NMD (2)ND2=NC〃NB
强调：
①由于直角三角形有一个角为直角，因此，在判定两个直角三角形相似时，只需再找一对对应角相等，用判定定理1，或两条直角边对应成比例，用判定定理2，一般不用判定定理3判定两个直角三角形相似;
②如图是一个十分重要的相似三角形的基本图形，图中的三角形，可称为“母子相似三角形”，其应用较为广泛.(直角三角形被斜边上的高分成的两个直三角形的与原三角形相似)
③如图，可简单记为：在Rt△ABC中，CD⊥AB，则△ABC∽△CBD∽△ACD. ④补充射影定理。
(1) 如图：称为“平行线型”的相似三角形BCE
(2)如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“相交线型”的相似三角形。AE1BDC
B
A
4
D
E
DC
A
B
C
A
EDE
(3)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。
B
C
二、例题分析
1、下列说法不正确的是( )
A、两对应角相等的三角形是相似三角形; B、两对应边成比例的三角形是相似三角形; C、三边对应成比例的三角形是相似三角形; D、以上有两个说法是正确。 A 2、如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形有( )
D A、2对 B、3对 C、4对 D、5对 E
3、如图，若P为△ABC的边AB上一点(AB>AC)，则下列条件不一定能保证△
ACP的有( ) A、∠ACP=∠B B、∠APC=∠ACB C
、AC?AP D、PC?AC
ABACBCAB
C
4、如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论：①BC=2DE;②△ADE∽△ABC;ADAB
?③;其中正确的有 ( ) AEAC
A、3个 B、2个 C、1个 D、5、如图AD⊥AB于D，CE⊥AB于E交AB于F 6、小明的身高是1.6m，他的影长为2m，同一时刻教学楼的影长为24m，则教学楼的高是
;
7、已知AD为Rt△ABC斜边BC上的高，且AB=15cm，BD=9cm，则AD= ，CD= 。
8、如图四，在平行四边形ABCD中，AB = 4cm ,AD = 7cm , ∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF = _________cm
9、已知:如图,ΔABC中,AD=DB,∠1=∠2.求证:ΔABC∽ΔEAD.
C
10、已知，如图，D为△ABC内一点，连结ED、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=
∠BAD
求证：△DBE∽△ABC
11、已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线，求证：△ABC∽△BCD A
D
CB
12、矩形ABCD中，BC=3AB，E、F，是BC边的三等分点，连结AE、AF、AC，问图中是否存在非全等的相似三角形?请证明你的结论。
A
D
E13、如图10，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、
CG,AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N. 求证：(1)AE?CG;(2)AN?DN?CN?MN. 14、已知如图，∠A=90°，D是AB上任意一点，BE⊥BC，∠BCE=∠DCA，EF⊥AB， 求证：AD=BF
B
F
C
15、有一块三角形的土地，它的底边BC=100米，高AH=80米。某单位要沿着地边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在边AB、AC上。若大楼的宽是40米(即DE=40米)，求这个矩形的面积。
△BBCEECABCD中，?BAD?32和H°，分别以BC、CD为边向外作△DCFF
，使BE?BCDF，DC?EBC，?CDF??.延长AB交边EC于点H，点H在E、C两点之间，连结AE、AF. (1)求证：△ABE≌△FDA.
(2)当AE⊥AF时，求?EBH的度数.
九年级数学相似三角形作业讲评课教案5
相似三角形判定
复习回顾
全等判定：
(对应)边角
(6组量) 判定方法 角边角 角角边 边边边
边角边
1.两角分别相等
三角分别
相等, 三2.三边成比例 3.两边成比例且
夹角相等
4.两边成比例且
其中一边的对角相等 边成比例
判定定理一： 两角分别相等的两个三角形相似。
证明：在ΔABC的边AB、AC上，分别截取AD=A/B/,AE=A/C/，连结DE。 ∵ AD=A/B/,∠A=∠A/，AE=A/C/
∴ ΔA DE≌ΔA/B/C/，
∴ ∠ADE=∠B/，
又∵ ∠B/=∠B，
∴ ∠ADE=∠B，
∴ DE//BC，
∴ ΔADE∽ΔABC。 A A/ E
∴ ΔA/B/C/∽ΔABC B C B/ C/ 判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。可以简单说成：“有两个角对应相等的两个三角形相似。”
证明：在ΔABC的边AB、AC上，分别截取AD=A/B/,AE=A/C/，连结DE。
∵ AD=A/B/,∠A=∠A/，AE=A/C/ ∴ ΔA DE≌ΔA/B/C/， ∴ ∠ADE=∠B/， 又∵ ∠B/=∠B， ∴ ∠ADE=∠B， ∴ DE//BC， ∴ ΔADE∽ΔABC。
A
A/
E
∴ ΔA/B/C/∽ΔABC
B
C B/ C/
判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。可以简单说成：“
有两个角对应相等的两个
三角形相似。”
判定定理二：两边对应成比例且夹角相等的
两个 三角形相似.
判定定理三：三边成比例的两个三角形相似
?如图,△ ABC与△ A′B′C′相似吗? ?你用什么方法来支持你的判断?
AB?8 ,BC? ,AC?2 ;A?B??4,B?C??,A?C??2;
ABACBC2?????2.A?B?A?C?B?C?1
有一对 等角,找
另一对等角---用判定定理1 夹边成比例---用判定定理2 夹角相等----用判定定理2
有两边对应 边成比例,
第三边也成比例---用判定定理3
找
有一对直角---用直角三角形 相似的判定定理
B
D C B
D E
D C
C
B
B C
C
B
D
D
F
提示：易知?B1A1C1??B2A2C2
???90?45
由勾股定理得
A1B1?22，A1C1?4A2B2?2，A2C2?2
ABA2B2
??
ACA2C2
?△A1B1C1∽△A2B2C2
练习提高
思路分析： ∽ 先证明
先证明
上面的思路分析可以用一段顺口溜来表述：
证等积，化等比;
横找竖找定相似. 不相似，别着急; 等线等比来代替. ……
如何证明
△ABD∽△ACB
易知∠A是△ABD和△ACB 根据两角分别相等的 的.公共角，
两个三角形相似，只要再证明一对角相等即可。观察图形，猜想 ∠3=∠C ?
1
2
∠3=∠C
∠3=∠C ∠A= ∠A
△ABD∽△ACB
1
2
AC
?
AB
AB?AD?AC
AE=AB
AE2=AD·AC
2
①当∠1=∠C时
②当∠1=∠A时
(2)已知AD=3，BD=5，AE=4，求AC的长 两角分别相等的两个三角形相似(2) ∵△ADE∽△ACB (已证)
ADAE??ACAB
34??，解得：ACAC3?5
?6
2)已知AD=5，BD=2， 求AC的长
两角分别相等的两个三角形相似(2) ∵△ACD∽△ABC (已证)
ACAD
??ABAC
AC5??解得：AC??35(负值舍去)5?2AC
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