九年级数学树状图教案范文

时间：2023-08-19 20:40:02 文/刘莉莉老师数学学文网www.xuewenya.com

九年级数学树状图教案2021范文1

1.通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax2+bx+c=0(a≠0)，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念.

2.了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解.

重点

通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax2+bx+c=0(a≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题.

难点

一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别.

活动1　复习旧知

1.什么是方程?你能举一个方程的例子吗?

2.下列哪些方程是一元一次方程?并给出一元一次方程的概念和一般形式.

(1)2x-1　(2)mx+n=0　(3)1x+1=0　(4)x2=1

3.下列哪个实数是方程2x-1=3的解?并给出方程的解的概念.

A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3

活动2　探究新知

根据题意列方程.

1.教材第2页　问题1.

提出问题：

(1)正方形的大小由什么量决定?本题应该设哪个量为未知数?

(2)本题中有什么数量关系?能利用这个数量关系列方程吗?怎么列方程?

(3)这个方程能整理为比较简单的形式吗?请说出整理之后的方程.

2.教材第2页　问题2.

提出问题：

(1)本题中有哪些量?由这些量可以得到什么?

(2)比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系?如果有5个队参赛，每个队比赛几场?一共有20场比赛吗?如果不是20场比赛，那么究竟比赛多少场?

(3)如果有x个队参赛，一共比赛多少场呢?

3.一个数比另一个数大3，且两个数之积为0，求这两个数.

提出问题：

本题需要设两个未知数吗?如果可以设一个未知数，那么方程应该怎么列?

4.一个正方形的面积的2倍等于25，这个正方形的边长是多少?

活动3　归纳概念

提出问题：

(1)上述方程与一元一次方程有什么相同点和不同点?

(2)类比一元一次方程，我们可以给这一类方程取一个什么名字?

(3)归纳一元二次方程的概念.

1.一元二次方程：只含有________个未知数，并且未知数的次数是________，这样的________方程，叫做一元二次方程.

2.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数;bx是一次项，b是一次项系数;c是常数项.

提出问题：

(1)一元二次方程的一般形式有什么特点?等号的左、右分别是什么?

(2)为什么要限制a≠0，b，c可以为0吗?

(3)2x2-x+1=0的一次项系数是1吗?为什么?

3.一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(根).

活动4　例题与练习

例1　在下列方程中，属于一元二次方程的是________.

(1)4x2=81;(2)2x2-1=3y;(3)1x2+1x=2;

(4)2x2-2x(x+7)=0.

总结：判断一个方程是否是一元二次方程的依据：(1)整式方程;(2)只含有一个未知数;(3)含有未知数的项的次数是2.注意有些方程化简前含有二次项，但是化简后二次项系数为0，这样的方程不是一元二次方程.

例2　教材第3页　例题.

例3　以-2为根的一元二次方程是(　　)

A.x2+2x-1=0 B.x2-x-2=0

C.x2+x+2=0 D.x2+x-2=0

总结：判断一个数是否为方程的解，可以将这个数代入方程，判断方程左、右两边的值是否相等.

练习：

1.若(a-1)x2+3ax-1=0是关于x的一元二次方程，那么a的取值范围是________.

2.将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项.

(1)4x2=81;(2)(3x-2)(x+1)=8x-3.

3.教材第4页　练习第2题.

4.若-4是关于x的一元二次方程2x2+7x-k=0的一个根，则k的值为________.

答案：1.a≠1;2.略;3.略;4.k=4.

活动5　课堂小结与作业布置

课堂小结

我们学习了一元二次方程的哪些知识?一元二次方程的一般形式是什么?一般形式中有什么限制?你能解一元二次方程吗?

作业布置

教材第4页　习题21.1第1～7题.

九年级数学树状图教案2021范文2

21.2.1　配方法(3课时)

第1课时　直接开平方法

理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题.

提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a(ex+f)2+c=0型的一元二次方程.

重点

运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程，领会降次——转化的数学思想.

难点

通过根据平方根的意义解形如x2=n的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.

一、复习引入

学生活动：请同学们完成下列各题.

问题1：填空

(1)x2-8x+________=(x-________)2;(2)9x2+12x+________=(3x+________)2;(3)x2+px+________=(x+________)2.

解：根据完全平方公式可得：(1)16　4;(2)4　2;(3)(p2)2　p2.

问题2：目前我们都学过哪些方程?二元怎样转化成一元?一元二次方程与一元一次方程有什么不同?二次如何转化成一次?怎样降次?以前学过哪些降次的方法?

二、探索新知

上面我们已经讲了x2=9，根据平方根的意义，直接开平方得x=±3，如果x换元为2t+1，即(2t+1)2=9，能否也用直接开平方的方法求解呢?

(学生分组讨论)

老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=±3

即2t+1=3，2t+1=-3

方程的两根为t1=1，t2=-2

例1　解方程：(1)x2+4x+4=1　(2)x2+6x+9=2

分析：(1)x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为(x+2)2=1.

(2)由已知，得：(x+3)2=2

直接开平方，得：x+3=±2

即x+3=2，x+3=-2

所以，方程的两根x1=-3+2，x2=-3-2

解：略.

例2　市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m2提高到14.4 m2，求每年人均住房面积增长率.

分析：设每年人均住房面积增长率为x，一年后人均住房面积就应该是10+10x=10(1+x);二年后人均住房面积就应该是10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x)2

解：设每年人均住房面积增长率为x，

则：10(1+x)2=14.4

(1+x)2=1.44

直接开平方，得1+x=±1.2

即1+x=1.2，1+x=-1.2

所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2

因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去.

所以，每年人均住房面积增长率应为20%.

(学生小结)老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么?

共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程.我们把这种思想称为“降次转化思想”.

三、巩固练习

教材第6页　练习.

四、课堂小结

本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2=p(p≥0)的方程，那么x=±p转化为应用直接开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程，那么mx+n=±p，达到降次转化之目的.若p<0则方程无解.

五、作业布置

教材第16页　复习巩固1.第2课时　配方法的基本形式

理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题.

通过复习可直接化成x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的一元二次方程的解题步骤.

重点

讲清直接降次有困难，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤.

难点

将不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧.

一、复习引入

(学生活动)请同学们解下列方程：

(1)3x2-1=5　(2)4(x-1)2-9=0　(3)4x2+16x+16=9　(4)4x2+16x=-7

老师点评：上面的方程都能化成x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的形式，那么可得

x=±p或mx+n=±p(p≥0).

如：4x2+16x+16=(2x+4)2，你能把4x2+16x=-7化成(2x+4)2=9吗?

二、探索新知

列出下面问题的方程并回答：

(1)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢?

(2)能否直接用上面前三个方程的解法呢?

问题：要使一块矩形场地的长比宽多6 m，并且面积为16 m2，求场地的长和宽各是多少?

(1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有此特征.

(2)不能.

既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：

x2+6x-16=0移项→x2+6x=16

两边加(6/2)2使左边配成x2+2bx+b2的形式→x2+6x+32=16+9

左边写成平方形式→(x+3)2=25降次→x+3=±5即x+3=5或x+3=-5

解一次方程→x1=2，x2=-8

可以验证：x1=2，x2=-8都是方程的根，但场地的宽不能是负值，所以场地的宽为2 m，长为8 m.

像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法.

可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.

例1　用配方法解下列关于x的方程：

(1)x2-8x+1=0　(2)x2-2x-12=0

分析：(1)显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式;(2)同上.

解：略.

三、巩固练习

教材第9页　练习1，2.(1)(2).

四、课堂小结

本节课应掌握：

左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程.

五、作业布置

教材第17页　复习巩固2，3.(1)(2).第3课时　配方法的灵活运用

九年级数学树状图教案2021范文3

1.经历用一元二次方程解决实际问题的过程，总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤.

2.通过学生自主探究，会根据传播问题、百分率问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉解题的具体步骤.

3.通过实际问题的解答，让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准.

重点

利用一元二次方程解决传播问题、百分率问题.

难点

如果理解传播问题的传播过程和百分率问题中的增长(降低)过程，找到传播问题和百分率问题中的数量关系.

一、引入新课

1.列方程解应用题的基本步骤有哪些?应注意什么?

2.科学家在细胞研究过程中发现：

(1)一个细胞一次可分裂成2个，经过3次分裂后共有多少个细胞?

(2)一个细胞一次可分裂成x个，经过3次分裂后共有多少个细胞?

(3)如是一个细胞一次可分裂成2个，分裂后原有细胞仍然存在并能再次分裂，试问经过3次分裂后共有多少个细胞?

二、教学活动

活动1：自学教材第19页探究1，思考教师所提问题.

有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人?

(1)如何理解“两轮传染”?如果设每轮传染中平均一个人传染了x个人，第一轮传染后共有________人患流感.第二轮传染后共有________人患流感.

(2)本题中有哪些数量关系?

(3)如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程?

解答：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则依题意第一轮传染后有(x+1)人患了流感，第二轮有x(1+x)人被传染上了流感.于是可列方程：

1+x+x(1+x)=121

解方程得x1=10，x2=-12(不合题意舍去)

因此每轮传染中平均一个人传染了10个人.

变式练习：如果按这样的传播速度，三轮传染后有多少人患了流感?

活动2：自学教材第19页～第20页探究2，思考老师所提问题.

两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?

(1)如何理解年平均下降额与年平均下降率?它们相等吗?

(2)若设甲种药品年平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了________元，此时成本为________元;两年后，甲种药品下降了________元，此时成本为________元.

(3)增长率(下降率)公式的归纳：设基准数为a，增长率为x，则一月(或一年)后产量为a(1±x);

二月(或二年)后产量为a(1±x)2;

n月(或n年)后产量为a(1±x)n;

如果已知n月(n年)后总产量为M，则有下面等式：M=a(1±x)n.

(4)对甲种药品而言根据等量关系列方程为：________________.

三、课堂小结与作业布置

课堂小结

1.列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答.最后要检验根是否符合实际.

2.传播问题解决的关键是传播源的确定和等量关系的建立.

3.若平均增长(降低)率为x，增长(或降低)前的基准数是a，增长(或降低)n次后的量是b，则有：a(1±x)n=b(常见n=2).

4.成本下降额较大的药品，它的下降率不一定也较大，成本下降额较小的药品，它的下降率不一定也较小.

作业布置

教材第21-22页　习题21.3第2-7题.第2课时　解决几何问题

1.通过探究，学会分析几何问题中蕴含的数量关系，列出一元二次方程解决几何问题.

2.通过探究，使学生认识在几何问题中可以将图形进行适当变换，使列方程更容易.

3.通过实际问题的解答，再次让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准.

重点

通过实际图形问题，培养学生运用一元二次方程分析和解决几何问题的能力.

难点

在探究几何问题的过程中，找出数量关系，正确地建立一元二次方程.

活动1　创设情境

1.长方形的周长________，面积________，长方体的体积公式________.

2.如图所示：

(1)一块长方形铁皮的长是10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为2 cm的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是________，高是________，体积是________.

(2)一块长方形铁皮的长是10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为x cm的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是________，高是________，体积是________.

活动2　自学教材第20页～第21页探究3，思考老师所提问题

要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.1 cm).

(1)要设计书本封面的长与宽的比是________，则正中央矩形的长与宽的比是________.

(2)为什么说上下边衬宽与左右边衬宽之比为9∶7?试与同伴交流一下.

(3)若设上、下边衬的宽均为9x cm，左、右边衬的宽均为7x cm，则中央矩形的长为________cm，宽为________cm，面积为________cm2.

(4)根据等量关系：________，可列方程为：________.

(5)你能写出解题过程吗?(注意对结果是否合理进行检验.)

(6)思考如果设正中央矩形的长与宽分别为9x cm和7x cm，你又怎样去求上下、左右边衬的宽?

活动3　变式练习

如图所示，在一个长为50米，宽为30米的矩形空地上，建造一个花园，要求花园的面积占整块面积的75%，等宽且互相垂直的两条路的面积占25%，求路的宽度.

答案：路的宽度为5米.

活动4　课堂小结与作业布置

课堂小结

1.利用已学的特殊图形的面积(或体积)公式建立一元二次方程的数学模型，并运用它解决实际问题的关键是弄清题目中的数量关系.

2.根据面积与面积(或体积)之间的等量关系建立一元二次方程，并能正确解方程，最后对所得结果是否合理要进行检验.

作业布置

教材第22页　习题21.3第8，10题.

九年级数学树状图教案2021范文4

一、素质教育目标

(一)知识教学点

使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也都固定这一事实.

(二)能力训练点

逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.

(三)德育渗透点

引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯.

二、教学重点、难点

1.重点：使学生知道当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的这一事实.

2.难点：学生很难想到对任意锐角，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的事实，关键在于教师引导学生比较、分析，得出结论.

三、教学步骤

(一)明确目标

1.如图6-1，长5米的梯子架在高为3米的墙上，则A、B间距离为多少米?

2.长5米的梯子以倾斜角∠CAB为30°靠在墙上，则A、B间的距离为多少?

3.若长5米的梯子以倾斜角40°架在墙上，则A、B间距离为多少?

4.若长5米的梯子靠在墙上，使A、B间距为2米，则倾斜角∠CAB为多少度?

前两个问题学生很容易回答.这两个问题的设计主要是引起学生的回忆，并使学生意识到，本章要用到这些知识.但后两个问题的设计却使学生感到疑惑，这对初三年级这些好奇、好胜的学生来说，起到激起学生的学习兴趣的作用.同时使学生对本章所要学习的内容的特点有一个初步的了解，有些问题单靠勾股定理或含30°角的直角三角形和等腰直角三角形的知识是不能解决的，解决这类问题，关键在于找到一种新方法，求出一条边或一个未知锐角，只要做到这一点，有关直角三角形的其他未知边角就可用学过的知识全部求出来.

通过四个例子引出课题.

(二)整体感知

1.请每一位同学拿出自己的三角板，分别测量并计算30°、45°、60°角的对边、邻边与斜边的比值.

学生很快便会回答结果：无论三角尺大小如何，其比值是一个固定的值.程度较好的学生还会想到，以后在这些特殊直角三角形中，只要知道其中一边长，就可求出其他未知边的长.

2.请同学画一个含40°角的直角三角形，并测量、计算40°角的对边、邻边与斜边的比值，学生又高兴地发现，不论三角形大小如何，所求的比值是固定的.大部分学生可能会想到，当锐角取其他固定值时，其对边、邻边与斜边的比值也是固定的吗?

这样做，在培养学生动手能力的同时，也使学生对本节课要研究的知识有了整体感知，唤起学生的求知欲，大胆地探索新知.

(三)重点、难点的学习与目标完成过程

1.通过动手实验，学生会猜想到“无论直角三角形的锐角为何值，它的对边、邻边与斜边的比值总是固定不变的”.但是怎样证明这个命题呢?学生这时的思维很活跃.对于这个问题，部分学生可能能解决它.因此教师此时应让学生展开讨论，独立完成.

2.学生经过研究，也许能解决这个问题.若不能解决，教师可适当引导：

若一组直角三角形有一个锐角相等，可以把其

顶点A1，A2，A3重合在一起，记作A，并使直角边AC1，AC2，AC3……落在同一条直线上，则斜边AB1，AB2，AB3……落在另一条直线上.这样同学们能解决这个问题吗?引导学生独立证明：易知，B1C1∥B2C2∥B3C3……，∴△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽……，∴

形中，∠A的对边、邻边与斜边的比值，是一个固定值.

通过引导，使学生自己独立掌握了重点，达到知识教学目标，同时培养学生能力，进行了德育渗透.

而前面导课中动手实验的设计，实际上为突破难点而设计.这一设计同时起到培养学生思维能力的作用.

练习题为作了孕伏同时使学生知道任意锐角的对边与斜边的比值都能求出来.

(四)总结与扩展

1.引导学生作知识总结：本节课在复习勾股定理及含30°角直角三角形的性质基础上，通过动手实验、证明，我们发现，只要直角三角形的锐角固定，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的.

教师可适当补充：本节课经过同学们自己动手实验，大胆猜测和积极思考，我们发现了一个新的结论，相信大家的逻辑思维能力又有所提高，希望大家发扬这种创新精神，变被动学知识为主动发现问题，培养自己的创新意识.

2.扩展：当锐角为30°时，它的对边与斜边比值我们知道.今天我们又发现，锐角任意时，它的对边与斜边的比值也是固定的.如果知道这个比值，已知一边求其他未知边的问题就迎刃而解了.看来这个比值很重要，下节课我们就着重研究这个“比值”，有兴趣的同学可以提前预习一下.通过这种扩展，不仅对正、余弦概念有了初步印象，同时又激发了学生的兴趣.

四、布置作业

本节课内容较少，而且是为正、余弦概念打基础的，因此课后应要求学生预习正余弦概念.

五、板书设计

九年级数学树状图教案2021范文5

一、素质教育目标

(一)知识教学点

使学生初步了解正弦、余弦概念;能够较正确地用sinA、cosA表示直角三角形中两边的比;熟记特殊角30°、45°、60°角的正、余弦值，并能根据这些值说出对应的锐角度数.

(二)能力训练点

逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力.

(三)德育渗透点

渗透教学内容中普遍存在的运动变化、相互联系、相互转化等观点.

二、教学重点、难点

1.教学重点：使学生了解正弦、余弦概念.

2.教学难点：用含有几个字母的符号组sinA、cosA表示正弦、余弦;正弦、余弦概念.

三、教学步骤

(一)明确目标

1.引导学生回忆“直角三角形锐角固定时，它的对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值也是固定的.”

2.明确目标：这节课我们将研究直角三角形一锐角的对边、邻边与斜边的比值——正弦和余弦.

(二)整体感知

只要知道三角形任一边长，其他两边就可知.

而上节课我们发现：只要直角三角形的锐角固定，它的对边与斜边、邻边与斜边的比值也固定.这样只要能求出这个比值，那么求直角三角形未知边的问题也就迎刃而解了.

通过与“30°角所对的直角边等于斜边的一半”相类比，学生自然产生想学习的欲望，产生浓厚的学习兴趣，同时对以下要研究的内容有了大体印象.

(三)重点、难点的学习与目标完成过程

正弦、余弦的概念是全章知识的基础，对学生今后的学习与工作都十分重要，因此确定它为本课重点，同时正、余弦概念隐含角度与数之间具有一一对应的函数思想，又用含几个字母的符号组来表示，因此概念也是难点.

在上节课研究的基础上，引入正、余弦，“把对边、邻边与斜边的比值称做正弦、余弦”.如图6-3：

请学生结合图形叙述正弦、余弦定义，以培养学生概括能力及语言表达能力.教师板书：在△ABC中，∠C为直角，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA.

若把∠A的对边BC记作a，邻边AC记作b，斜边AB记作c，则

引导学生思考：当∠A为锐角时，sinA、cosA的值会在什么范围内?得结论0<sina<1，0<cosa<1(∠a为锐角).这个问题对于较差学生来说有些难度，应给学生充分思考时间，同时这个问题也使学生将数与形结合起来.< p="">

教材例1的设置是为了巩固正弦概念，通过教师示范，使学生会求正弦，这里不妨增问“cosA、cosB”，经过反复强化，使全体学生都达到目标，更加突出重点.

例1 求出图6-4所示的Rt△ABC中的sinA、sinB和cosA、cosB的值.

学生练习1中1、2、3.

让每个学生画含30°、45°的直角三角形，分别求sin30°、sin45°、sin60°和cos30°、cos45°、cos60°.这一练习既用到以前的知识，又巩固正弦、余弦的概念，经过学习亲自动笔计算后，对特殊角三角函数值印象很深刻.

例2 求下列各式的值：

为了使学生熟练掌握特殊角三角函数值，这里还应安排六个小题：

(1)sin45°+cos45; (2)sin30°?cos60°;

在确定每个学生都牢记特殊角的三角函数值后，引导学生思考，“请大家观察特殊角的正弦和余弦值，猜测一下，sin20°大概在什么范围内，cos50°呢?”这样的引导不仅培养学生的观察力、注意力，而且培养学生勇于思考、大胆创新的精神.还可以进一步请成绩较好的同学用语言来叙述“锐角的正弦值随角度增大而增大，余弦值随角度增大而减小.”为查正余弦表作准备.

(四)总结、扩展

首先请学生作小结，教师适当补充，“主要研究了锐角的正弦、余弦概念，已知直角三角形的两边可求其锐角的正、余弦值.知道任意锐角A的正、余弦值都在0～1之间，即

0<sina<1， p="" 0<cosa<1(∠a为锐角).

还发现Rt△ABC的两锐角∠A、∠B，sinA=cosB，cosA=sinB.正弦值随角度增大而增大，余弦值随角度增大而减小.”

四、布置作业

教材习题14.1中A组3.

预习下一课内容.

五、板书设计

14.1 正弦和余弦(二)

一、概念：三、例1---------- 四、特殊角的正余弦值

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二、范围： ------------------ 五、例2 ------------

正弦和余弦(三)

一、素质教育目标

(一)知识教学点

使学生了解一个锐角的正弦(余弦)值与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系.

(二)能力训练点

逐步培养学生观察、比较、分析、综合、抽象、概括的逻辑思维能力.

(三)德育渗透点

培养学生独立思考、勇于创新的精神.

二、教学重点、难点

1.重点：使学生了解一个锐角的正弦(余弦)值与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系并会应用.

2.难点：一个锐角的正弦(余弦)与它的余角的余弦(正弦)之间的关系的应用.

三、教学步骤

(一)明确目标

1.复习提问

(1)、什么是∠A的正弦、什么是∠A的余弦，结合图形请学生回答.因为正弦、余弦的概念是研究本课内容的知识基础，请中下学生回答，从中可以了解教学班还有多少人不清楚的，可以采取适当的补救措施.

(2)请同学们回忆30°、45°、60°角的正、余弦值(教师板书).

(3)请同学们观察，从中发现什么特征?学生一定会回答“sin30°=cos60°，sin45°=cos45°，sin60°=cos30°，这三个角的正弦值等于它们余角的余弦值”.

2.导入新课

根据这一特征，学生们可能会猜想“一个锐角的正弦(余弦)值等于它的余角的余弦(正弦)值.”这是否是真命题呢?引出课题.

(二)、整体感知

关于锐角的正弦(余弦)值与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系，是通过30°、45°、60°角的正弦、余弦值之间的关系引入的，然后加以证明.引入这两个关系式是为了便于查“正弦和余弦表”，关系式虽然用黑体字并加以文字语言的证明，但不标明是定理，其证明也不要求学生理解，更不应要求学生利用这两个关系式去推证其他三角恒等式.在本章，这两个关系式的用处仅仅限于查表和计算，而不是证明.

(三)重点、难点的学习和目标完成过程

1.通过复习特殊角的三角函数值，引导学生观察，并猜想“任一锐角的正弦(余弦)值等于它的余角的余弦(正弦)值吗?”提出问题，激发学生的学习热情，使学生的思维积极活跃.

2.这时少数反应快的学生可能头脑中已经“画”出了图形，并有了思路，但对部分学生来说仍思路凌乱.因此教师应进一步引导：sinA=cos(90°-A)，cosA=sin(90°-A)(A是锐角)成立吗?这时，学生结合正、余弦的概念，完全可以自己解决，教师要给学生足够的研究解决问题的时间，以培养学生逻辑思维能力及独立思考、勇于创新的精神.

3.教师板书：

任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值.

sinA=cos(90°-A)，cosA=sin(90°-A).

4.在学习了正、余弦概念的基础上，学生了解以上内容并不困难，但是，由于学生初次接触三角函数，还不熟练，而定理又涉及余角、余函数，使学生极易混淆.因此，定理的应用对学生来说是难点、在给出定理后，需加以巩固.

已知∠A和∠B都是锐角，

(1)把cos(90°-A)写成∠A的正弦.

(2)把sin(90°-A)写成∠A的余弦.

这一练习只能起到巩固定理的作用.为了运用定理，教材安排了例3.

(2)已知sin35°=0.5736，求cos55°;

(3)已知cos47°6′=0.6807，求sin42°54′.

(1)问比较简单，对照定理，学生立即可以回答.(2)、(3)比(1)则更深一步，因为(1)明确指出∠B与∠A互余，(2)、(3)让学生自己发现35°与55°的角，47°6′分42°54′的角互余，从而根据定理得出答案，因此(2)、(3)问在课堂上应该请基础好一些的同学讲清思维过程，便于全体学生掌握，在三个问题处理完之后，将题目变形：

(2)已知sin35°=0.5736，则cos______=0.5736.

(3)cos47°6′=0.6807，则sin______=0.6807，以培养学生思维能力.

为了配合例3的教学，教材中配备了练习题2.

(2)已知sin67°18′=0.9225，求cos22°42′;

(3)已知cos4°24′=0.9971，求sin85°36′.

学生独立完成练习2，就说明定理的教学较成功，学生基本会运用.

教材中3的设置，实际上是对前二节课内容的综合运用，既考察学生正、余弦概念的掌握程度，同时又对本课知识加以巩固练习，因此例3的安排恰到好处.同时，做例3也为下一节查正余弦表做了准备.

(四)小结与扩展

1.请学生做知识小结，使学生对所学内容进行归纳总结，将所学内容变成自己知识的组成部分.

2.本节课我们由特殊角的正弦(余弦)和它的余角的余弦(正弦)值间关系，以及正弦、余弦的概念得出的结论：任意一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值.

四、布置作业

教材习题14.1A组4、5.