高三数学练习题答案
一、选择题
1.z=x-y在2x-y+1≥0x-2y-1≤0x+y≤1的线性约束条件下，取得值的可行解为()
A.(0,1)B.(-1，-1)
C.(1,0)D.(12，12)
解析：选C.可以验证这四个点均是可行解，当x=0，y=1时，z=-1;当x=-1，y=-1时，z=0;当x=1，y=0时，z=1;当x=12，y=12时，z=0.排除A，B，D.
2.(2010年高考浙江卷)若实数x，y满足不等式组x+3y-3≥0，2x-y-3≤0，x-y+1≥0，则x+y的值为()
A.9B.157
C.1D.715
解析：选A.画出可行域如图：
令z=x+y，可变为y=-x+z，
作出目标函数线，平移目标函数线，显然过点A时z.
由2x-y-3=0，x-y+1=0，得A(4,5)，∴zmax=4+5=9.
3.在△ABC中，三顶点分别为A(2,4)，B(-1,2)，C(1,0)，点P(x，y)在△ABC内部及其边界上运动，则m=y-x的取值范围为()
A.[1,3]B.[-3,1]
C.[-1,3]D.[-3，-1]
解析：选C.直线m=y-x的斜率k1=1≥kAB=23，且k1=1
∴直线经过C时m最小，为-1，
经过B时m，为3.
4.已知点P(x，y)在不等式组x-2≤0y-1≤0x+2y-2≥0表示的平面区域内运动，则z=x-y的取值范围是()
A.[-2，-1]B.[-2,1]
C.[-1,2]D.[1,2]
解析：选C.先画出满足约束条件的可行域，如图阴影部分，
∵z=x-y，∴y=x-z.
由图知截距-z的范围为[-2，1]，∴z的范围为[-1,2].
5.设动点坐标(x，y)满足?x-y+1??x+y-4?≥0，x≥3，y≥1.则x2+y2的最小值为()
A.5B.10
C.172D.10
解析：选D.画出不等式组所对应的平面区域，由图可知当x=3，y=1时，x2+y2的最小值为10.
6.(2009年高考四川卷)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得的利润是()
A.12万元B.20万元
C.25万元D.27万元
解析：选D.设生产甲产品x吨、乙产品y吨，则获得的利润为z=5x+3y.
由题意得
x≥0，y≥0，3x+y≤13，2x+3y≤18，可行域如图阴影所示.
由图可知当x、y在A点取值时，z取得值，此时x=3，y=4，z=5×3+3×4=27(万元).
高三练习题数学答案
1.若不等式x2-2ax+a>0对一切实数x∈R恒成立，则关于t的不等式at2+2t-3<1的解集为()
A.(-3,1)B.(-∞，-3)∪(1，+∞)
C.?D.(0,1)
解析：不等式x2-2ax+a>0对一切实数x∈R恒成立，则Δ=(-2a)2-4a<0，即a2-a<0，解得0
所以不等式at2+2t-3<1转化为t2+2t-3>0，解得t<-3或t>1，故选B.
答案：B
2.若不等式组x2-2x-3≤0，x2+4x-?1+a?≤0的解集不是空集，则实数a的取值范围是()
A.(-∞，-4]B.[-4，+∞)
C.[-4,20]D.[-40,20)
解析：设f(x)=x2+4x-(1+a)，根据已知可转化为存在x0∈[-1,3]使f(x0)≤0.易知函数f(x)在区间[-1,3]上为增函数，故只需f(-1)=-4-a≤0即可，解得a≥-4.
答案：B
3.(2013?江苏)已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x>0时，f(x)=x2-4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________.
解析：∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(0)=0，
又当x<0时，-x>0，
∴f(-x)=x2+4x.
又f(x)为奇函数，∴f(-x)=-f(x)，
∴f(x)=-x2-4x(x<0)，
∴f(x)=x2-4x，x>0，0，x=0，-x2-4x，x<0.
(1)当x>0时，由f(x)>x得x2-4x>x，解得x>5;
(2)当x=0时，f(x)>x无解;
(3)当x<0时，由f(x)>x得-x2-4x>x，
解得-5
综上得不等式f(x)>x的解集用区间表示为(-5,0)∪(5，+∞).
答案：(-5,0)∪(5，+∞)
4.已知f(x)=-3x2+a(6-a)x+b.
(1)解关于a的不等式f(1)>0;
(2)若不等式f(x)>0的解集为(-1,3)，求实数a，b的值.
解：(1)∵f(1)>0，∴-3+a(6-a)+b>0，
即a2-6a+3-b<0.
Δ=(-6)2-4(3-b)=24+4b.
①当Δ≤0，即b≤-6时，原不等式的解集为?.
②当Δ>0，即b>-6时，
方程a2-6a+3-b=0有两根a1=3-6+b，
a2=3+6+b，
∴不等式的解集为(3-6+b，3+6+b).
综上所述：当b≤-6时，原不等式的解集为?;
当b>-6时，原不等式的解集为(3-6+b，3+6+b).
(2)由f(x)>0，得-3x2+a(6-a)x+b>0，
即3x2-a(6-a)x-b<0.∵它的解集为(-1,3)，
∴-1与3是方程3x2-a(6-a)x-b=0的两根.
∴-1+3=a?6-a?3，-1×3=-b3，
解得a=3-3，b=9或a=3+3，b=9.
高三数学练习参考答案
1.若xy>0，则对xy+yx说法正确的是()
A.有值-2B.有最小值2
C.无值和最小值D.无法确定
答案：B
2.设x，y满足x+y=40且x，y都是正整数，则xy的值是()
A.400B.100
C.40D.20
答案：A
3.已知x≥2，则当x=____时，x+4x有最小值____.
答案：24
4.已知f(x)=12x+4x.
(1)当x>0时，求f(x)的最小值;
(2)当x<0时，求f(x)的值.
解：(1)∵x>0，∴12x，4x>0.
∴12x+4x≥212x?4x=83.
当且仅当12x=4x，即x=3时取最小值83，
∴当x>0时，f(x)的最小值为83.
(2)∵x<0，∴-x>0.
则-f(x)=12-x+(-4x)≥212-x??-4x?=83，
当且仅当12-x=-4x时，即x=-3时取等号.
∴当x<0时，f(x)的值为-83.
一、选择题
1.下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是()
A.x+12xB.x2-1+1x2-1
C.2x+2-xD.x(1-x)
答案：C
2.函数y=3x2+6x2+1的最小值是()
A.32-3B.-3
C.62D.62-3
解析：选D.y=3(x2+2x2+1)=3(x2+1+2x2+1-1)≥3(22-1)=62-3.
3.已知m、n∈R，mn=100，则m2+n2的最小值是()
A.200B.100
C.50D.20
解析：选A.m2+n2≥2mn=200，当且仅当m=n时等号成立.
4.给出下面四个推导过程：
①∵a，b∈(0，+∞)，∴ba+ab≥2ba?ab=2;
②∵x，y∈(0，+∞)，∴lgx+lgy≥2lgx?lgy;
③∵a∈R，a≠0，∴4a+a≥24a?a=4;
④∵x，y∈R，，xy<0，∴xy+yx=-[(-xy)+(-yx)]≤-2?-xy??-yx?=-2.
其中正确的推导过程为()
A.①②B.②③
C.③④D.①④
解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑.
①∵a，b∈(0，+∞)，∴ba，ab∈(0，+∞)，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确;
②虽然x，y∈(0，+∞)，但当x∈(0,1)时，lgx是负数，y∈(0,1)时，lgy是负数，∴②的推导过程是错误的;
③∵a∈R，不符合基本不等式的条件，
∴4a+a≥24a?a=4是错误的;
④由xy<0得xy，yx均为负数，但在推导过程中将全体xy+yx提出负号后，(-xy)均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确.
5.已知a>0，b>0，则1a+1b+2ab的最小值是()
A.2B.22
C.4D.5
解析：选C.∵1a+1b+2ab≥2ab+2ab≥22×2=4.当且仅当a=bab=1时，等号成立，即a=b=1时，不等式取得最小值4.
6.已知x、y均为正数，xy=8x+2y，则xy有()
A.值64B.值164
C.最小值64D.最小值164
解析：选C.∵x、y均为正数，
∴xy=8x+2y≥28x?2y=8xy，
当且仅当8x=2y时等号成立.
∴xy≥64.
二、填空题
7.函数y=x+1x+1(x≥0)的最小值为________.
答案：1
8.若x>0，y>0，且x+4y=1，则xy有最________值，其值为________.
解析：1=x+4y≥2x?4y=4xy，∴xy≤116.
答案：大116
9.(2010年高考山东卷)已知x，y∈R+，且满足x3+y4=1，则xy的值为________.
解析：∵x>0，y>0且1=x3+y4≥2xy12，∴xy≤3.
当且仅当x3=y4时取等号.
答案：3
三、解答题
10.(1)设x>-1，求函数y=x+4x+1+6的最小值;
(2)求函数y=x2+8x-1(x>1)的最值.
解：(1)∵x>-1，∴x+1>0.
∴y=x+4x+1+6=x+1+4x+1+5
≥2?x+1??4x+1+5=9，
当且仅当x+1=4x+1，即x=1时，取等号.
∴x=1时，函数的最小值是9.
(2)y=x2+8x-1=x2-1+9x-1=(x+1)+9x-1
=(x-1)+9x-1+2.∵x>1，∴x-1>0.
∴(x-1)+9x-1+2≥2?x-1??9x-1+2=8.
当且仅当x-1=9x-1，即x=4时等号成立，
∴y有最小值8.
11.已知a，b，c∈(0，+∞)，且a+b+c=1，求证：(1a-1)?(1b-1)?(1c-1)≥8.
证明：∵a，b，c∈(0，+∞)，a+b+c=1，
∴1a-1=1-aa=b+ca=ba+ca≥2bca，
同理1b-1≥2acb，1c-1≥2abc，
以上三个不等式两边分别相乘得
(1a-1)(1b-1)(1c-1)≥8.
当且仅当a=b=c时取等号.
12.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计).
问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低.
解：设污水处理池的长为x米，则宽为200x米.
总造价f(x)=400×(2x+2×200x)+100×200x+60×200
=800×(x+225x)+12000
≥1600x?225x+12000
=36000(元)
当且仅当x=225x(x>0)，
即x=15时等号成立.
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