一、高中数列基本公式:
1、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系:an=
2、等差数列的通项公式:an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时,an是关于n的一次式;当d=0时,an是一个常数。
3、等差数列的前n项和公式:Sn=
Sn=
Sn=
当d≠0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0;当d=0时(a1≠0),Sn=na1是关于n的正比例式。
4、等比数列的通项公式: an= a1 qn-1 an= ak qn-k
(其中a1为首项、ak为已知的第k项,an≠0)
5、等比数列的前n项和公式:当q=1时,Sn=n a1 (是关于n的正比例式);
当q≠1时,Sn=
Sn=
三、高中数学中有关等差、等比数列的结论
1、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列。
2、等差数列{an}中,若m+n=p+q,则
3、等比数列{an}中,若m+n=p+q,则
4、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列。
5、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。
6、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列
{an
bn}、
、
仍为等比数列。
7、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。
8、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。
9、三个数成等差数列的设法:a-d,a,a+d;四个数成等差的设法:a-3d,a-d,,a+d,a+3d
10、三个数成等比数列的设法:a/q,a,aq;
四个数成等比的错误设法:a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么?)
11、{an}为等差数列,则
(c>0)是等比数列。
12、{bn}(bn>0)是等比数列,则{logcbn} (c>0且c
1) 是等差数列。
13. 在等差数列
中:
(1)若项数为
,则
(2)若数为
则,
,
14. 在等比数列
中:
(1) 若项数为
,则
(2)若数为
则,
高考数学备考:求数列通项公式的常用方法
求数列通项公式常用以下几种方法:
一、题目已知或通过简单推理判断出是等比数列或等差数列,直接用其通项公式。
例:在数列{an}中,若a1=1,an+1=an+2(n1),求该数列的通项公式an。
解:由an+1=an+2(n1)及已知可推出数列{an}为a1=1,d=2的等差数列。所以an=2n-1。此类题主要是用等比、等差数列的定义判断,是较简单的基础小题。
二、已知数列的前n项和,用公式
S1 (n=1)
Sn-Sn-1 (n2)
例:已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,第k项满足5
(A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 6
解:∵an=Sn-Sn-1=2n-10,∴5<2k-10<8 ∴k=8 选 (B)
此类题在解时要注意考虑n=1的情况。
三、已知an与Sn的关系时,通常用转化的方法,先求出Sn与n的关系,再由上面的(二)方法求通项公式。
例:已知数列{an}的前n项和Sn满足an=SnSn-1(n2),且a1=-,求数列{an}的通项公式。
解:∵an=SnSn-1(n2),而an=Sn-Sn-1,SnSn-1=Sn-Sn-1,两边同除以SnSn-1,得---=-1(n2),而-=-=-,∴{-} 是以-为首项,-1为公差的等差数列,∴-= -,Sn= -,
再用(二)的方法:当n2时,an=Sn-Sn-1=-,当n=1时不适合此式,所以,
- (n=1)
- (n2)
高三数学练习题及答案:数列
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.
1.在等差数列{an}中,若a1+a2+a12+a13=24,则a7为()
A.6B.7C.8D.9
解析:∵a1+a2+a12+a13=4a7=24,∴a7=6.
答案:A
2.若等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足S33-S22=1,则数列{an}的公差是()
A.12B.1C.2D.3
解析:由Sn=na1+n(n-1)2d,得S3=3a1+3d,S2=2a1+d,代入S33-S22=1,得d=2,故选C.
答案:C
3.已知数列a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(n∈N.),则a2011等于()
A.1B.-4C.4D.5
解析:由已知,得a1=1,a2=5,a3=4,a4=-1,a5=-5,a6=-4,a7=1,a8=5,…
故{an}是以6为周期的数列,
∴a2011=a6×335+1=a1=1.
答案:A
4.设{an}是等差数列,Sn是其前n项和,且S5
A.d<0B.a7=0
C.S9>S5D.S6与S7均为Sn的值
解析:∵S5
又S7>S8,∴a8<0.
假设S9>S5,则a6+a7+a8+a9>0,即2(a7+a8)>0.
∵a7=0,a8<0,∴a7+a8<0.假设不成立,故S9
答案:C
5.设数列{an}是等比数列,其前n项和为Sn,若S3=3a3,则公比q的值为()
A.-12B.12
C.1或-12D.-2或12[
解析:设首项为a1,公比为q,
则当q=1时,S3=3a1=3a3,适合题意.
当q≠1时,a1(1-q3)1-q=3?a1q2,
∴1-q3=3q2-3q3,即1+q+q2=3q2,2q2-q-1=0,
解得q=1(舍去),或q=-12.
综上,q=1,或q=-12.
答案:C
6.若数列{an}的通项公式an=5?252n-2-4?25n-1,数列{an}的项为第x项,最小项为第y项,则x+y等于()
A.3B.4C.5D.6
解析:an=5?252n-2-4?25n-1=5?25n-1-252-45,
∴n=2时,an最小;n=1时,an.
此时x=1,y=2,∴x+y=3.
答案:A
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