高三上册数学寒假练习题答案
1①真命题;②假命题，若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的;③真命题;④假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反;⑤假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段.
2.④
解析由|AB→|=|AC→|+|BC→|=|AC→|+|CB→|，知C点在线段AB上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以AC→与CB→同向.
3.BD1→
解析如图所示，
∵DD1→=AA1→，DD1→-AB→=AA1→-AB→=BA1→，
BA1→+BC→=BD1→，
∴DD1→-AB→+BC→=BD1→.
4.AC1→=AB→+AD→+AA1→
解析因为AB→+AD→=AC→，AC→+AA1→=AC1→，
所以AC1→=AB→+AD→+AA1→.
5.AM→
解析如图所示，
因为12(BD→+BC→)=BM→，
所以AB→+12(BD→+BC→)
=AB→+BM→=AM→.
6.①
解析观察平行六面体ABCD—A1B1C1D1可知，向量EF→，GH→，PQ→平移后可以首尾相连，于是EF→+GH→+PQ→=0.
7.相等相反
8.0
解析在任何图形中，首尾相接的若干个向量和为零向量.
9.
解(1)AB→+BC→+CD→=AC→+CD→=AD→.
(2)∵E，F，G分别为BC，CD，DB的中点.
∴BE→=EC→，EF→=GD→.
∴AB→+GD→+EC→=AB→+BE→+EF→=AF→.
故所求向量AD→，AF→，如图所示.
10.
证明连结BG，延长后交CD于E，由G为△BCD的重心，
知BG→=23BE→.
∵E为CD的中点，
∴BE→=12BC→+12BD→.
AG→=AB→+BG→=AB→+23BE→=AB→+13(BC→+BD→)
=AB→+13[(AC→-AB→)+(AD→-AB→)]
=13(AB→+AC→+AD→).
11.23a+13b
解析AF→=AC→+CF→
=a+23CD→
=a+13(b-a)
=23a+13b.
12.证明如图所示，平行六面体ABCD—A′B′C′D′，设点O是AC′的中点，
则AO→=12AC′→
=12(AB→+AD→+AA′→).
设P、M、N分别是BD′、CA′、DB′的中点.
则AP→=AB→+BP→=AB→+12BD′→
=AB→+12(BA→+BC→+BB′→)
=AB→+12(-AB→+AD→+AA′→)
=12(AB→+AD→+AA′→).
同理可证：AM→=12(AB→+AD→+AA′→)
AN→=12(AB→+AD→+AA′→).
由此可知O，P，M，N四点重合.
故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平分.
高三数学寒假作业答案
1.①
2.f(x0+Δx)-f(x0)
3.4+2Δx
解析Δy=f(1+Δx)-f(1)=2(1+Δx)2-1-2×12+1=4Δx+2(Δx)2，
∴ΔyΔx=4Δx+2(Δx)2Δx=4+2Δx.
4.s(t+Δt)-s(t)Δt
解析由平均速度的定义可知，物体在t到t+Δt这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比.
所以v=ΔsΔt=s(t+Δt)-s(t)Δt.
5.-1
解析ΔyΔx=f(3)-f(1)3-1=1-32=-1.
6.0.41
7.1
解析由平均变化率的几何意义知k=2-11-0=1.
8.4.1
解析质点在区间[2,2.1]内的平均速度可由ΔsΔt求得，即v=ΔsΔt=s(2.1)-s(2)0.1=4.1.
9.解函数f(x)在[-3，-1]上的平均变化率为：
f(-1)-f(-3)(-1)-(-3)
=[(-1)2-2×(-1)]-[(-3)2-2×(-3)]2=-6.
函数f(x)在[2,4]上的平均变化率为：
f(4)-f(2)4-2=(42-2×4)-(22-2×2)2=4.
10.解∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=(1+Δx)3-1
=3Δx+3(Δx)2+(Δx)3，
∴割线PQ的斜率
ΔyΔx=(Δx)3+3(Δx)2+3ΔxΔx=(Δx)2+3Δx+3.
当Δx=0.1时，割线PQ的斜率为k，
则k=ΔyΔx=(0.1)2+3×0.1+3=3.31.
∴当Δx=0.1时割线的斜率为3.31.
11.解乙跑的快.因为在相同的时间内，甲跑的路程小于乙跑的路程，即甲的平均速度比乙的平均速度小.
12.解函数f(x)在[0，a]上的平均变化率为
f(a)-f(0)a-0=a2+2aa=a+2.
函数g(x)在[2,3]上的平均变化率为
g(3)-g(2)3-2=(2×3-3)-(2×2-3)1=2.
∵a+2=2×2，∴a=2.
高三数学寒假练习题答案
一、选择题
1.在△ABC中，sinA=sinB，则△ABC是()
A.直角三角形B.锐角三角形
C.钝角三角形D.等腰三角形
答案D
2.在△ABC中，若acosA=bcosB=ccosC，则△ABC是()
A.直角三角形B.等边三角形
C.钝角三角形D.等腰直角三角形
答案B
解析由正弦定理知：sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC，
∴tanA=tanB=tanC，∴A=B=C.
3.在△ABC中，sinA=34，a=10，则边长c的取值范围是()
A.152，+∞B.(10，+∞)
C.(0,10)D.0，403
答案D
解析∵csinC=asinA=403，∴c=403sinC.
∴0
4.在△ABC中，a=2bcosC，则这个三角形一定是()
A.等腰三角形B.直角三角形
C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形
答案A
解析由a=2bcosC得，sinA=2sinBcosC，
∴sin(B+C)=2sinBcosC，
∴sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC，
∴sin(B-C)=0，∴B=C.
5.在△ABC中，已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于()
A.6∶5∶4B.7∶5∶3
C.3∶5∶7D.4∶5∶6
答案B
解析∵(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6，
∴b+c4=c+a5=a+b6.
令b+c4=c+a5=a+b6=k(k>0)，
则b+c=4kc+a=5ka+b=6k，解得a=72kb=52kc=32k.
∴sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=7∶5∶3.
6.已知三角形面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为()
A.1B.2
C.12D.4
答案A
解析设三角形外接圆半径为R，则由πR2=π，
得R=1，由S△=12absinC=abc4R=abc4=14，∴abc=1.
二、填空题
7.在△ABC中，已知a=32，cosC=13，S△ABC=43，则b=________.
答案23
解析∵cosC=13，∴sinC=223，
∴12absinC=43，∴b=23.
8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=60°，a=3，b=1，则c=________.
答案2
解析由正弦定理asinA=bsinB，得3sin60°=1sinB，
∴sinB=12，故B=30°或150°.由a>b，
得A>B，∴B=30°，故C=90°，
由勾股定理得c=2.
9.在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则asinA+b2sinB+2csinC=________.
答案7
解析∵△ABC的外接圆直径为2R=2，
∴asinA=bsinB=csinC=2R=2，
∴asinA+b2sinB+2csinC=2+1+4=7.
10.在△ABC中，A=60°，a=63，b=12，S△ABC=183，则a+b+csinA+sinB+sinC=________，c=________.
答案126
解析a+b+csinA+sinB+sinC=asinA=6332=12.
∵S△ABC=12absinC=12×63×12sinC=183，
∴sinC=12，∴csinC=asinA=12，∴c=6.
三、解答题
11.在△ABC中，求证：a-ccosBb-ccosA=sinBsinA.
证明因为在△ABC中，asinA=bsinB=csinC=2R，
所以左边=2RsinA-2RsinCcosB2RsinB-2RsinCcosA
=sin(B+C)-sinCcosBsin(A+C)-sinCcosA=sinBcosCsinAcosC=sinBsinA=右边.
所以等式成立，即a-ccosBb-ccosA=sinBsinA.
12.在△ABC中，已知a2tanB=b2tanA，试判断△ABC的形状.
解设三角形外接圆半径为R，则a2tanB=b2tanA
?a2sinBcosB=b2sinAcosA
?4R2sin2AsinBcosB=4R2sin2BsinAcosA
?sinAcosA=sinBcosB
?sin2A=sin2B
?2A=2B或2A+2B=π
?A=B或A+B=π2.
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.
能力提升
13.在△ABC中，B=60°，边与最小边之比为(3+1)∶2，则角为()
A.45°B.60°C.75°D.90°
答案C
解析设C为角，则A为最小角，则A+C=120°，
∴sinCsinA=sin120°-AsinA
=sin120°cosA-cos120°sinAsinA
=32tanA+12=3+12=32+12，
∴tanA=1，A=45°，C=75°.
14.在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若a=2，C=π4，
cosB2=255，求△ABC的面积S.
解cosB=2cos2B2-1=35，
故B为锐角，sinB=45.
所以sinA=sin(π-B-C)=sin3π4-B=7210.
由正弦定理得c=asinCsinA=107，
所以S△ABC=12acsinB=12×2×107×45=87.
1.在△ABC中，有以下结论：
(1)A+B+C=π;
(2)sin(A+B)=sinC，cos(A+B)=-cosC;
(3)A+B2+C2=π2;
(4)sinA+B2=cosC2，cosA+B2=sinC2，tanA+B2=1tanC2.
2.借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明.
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