高三同步数学练习题答案
1.若xy0,则对 xy+yx说法正确的是()
A.有最大值-2B.有最小值2
C.无最大值和最小值 D.无法确定
答案:B
2.设x,y满足x+y=40且x,y都是正整数,则xy的最大值是()
A.400 B.100
C.40 D.20
答案:A
3.已知x2,则当x=____时,x+4x有最小值____.
答案:2 4
4.已知f(x)=12x+4x.
(1)当x0时,求f(x)的最小值;
(2)当x0 时,求f(x)的.最大值.
解:(1)∵x0,12x,4x0.
12x+4x212x4x=83.
当且仅当12x=4x,即x=3时取最小值83,
当x0时,f(x)的最小值为83.
(2)∵x0,-x0.
则-f(x)=12-x+(-4x)212-x-4x=83,
当且仅当12-x=-4x时,即x=-3时取等号.
当x0时,f(x)的最大值为-83.
高三数学同步训练题答案
1.已知函数y=f(x)的定义域为D,若对于任意的x1,x2D(x1x2),都有fx1+x22()
A.y=log2x B.y=x
C.y=x2 D.y=x3
解析:可以根据图象直观观察;对于C证明如下:
欲证fx1+x22
即证x1+x222
即证(x1-x2)20.显然成立.故原不等式得证.
答案:C
2.设a,b,c(-,0),则a+1b,b+1c,c+1a()
A.都不大于-2 B.都不小于-2
C.至少有一个不大于-2 D.至少有一个不小于-2
解析:因为a+1b+b+1c+c+1a-6,所以三者不能都大于-2.
答案:C
3.凸函数的性质定理为:如果函数f(x)在区间D上是凸函数,则对于区间D内的任意x1,x2,,xn,有fx1+fx2++fxnnfx1+x2++xnn,已知函数y=sin x在区间(0,)上是凸函数,则在△ABC中,sin A+sin B+sin C的最大值为________.
解析:∵f(x)=sin x在区间(0,)上是凸函数,
且A、B、C(0,),
fA+fB+fC3fA+B+C3=f3,
即sin A+sin B+sin C3sin 3=332,
所以sin A+sin B+sin C的最大值为332.
答案:332
4.已知常数p0且p1,数列{an}的前n项和Sn=p1-p(1-an),数列{bn}满足bn+1-bn=logpa2n-1且b1=1.
(1)求证:数列{an}是等比数列;
(2)若对于在区间[0,1]上的`任意实数,总存在不小于2的自然数k,当nk时,bn(1-)(3n-2)恒成立,求k的最小值.
解:(1)证明:当n2时,an=Sn-Sn-1=p1-p(1-an)-p1-p(1-an-1),整理得an=pan-1.由a1=S1=p1-p(1-a1),得a1=p0,则恒有an=pn0,从而anan-1=p.所以数列{an}为等比数列.
(2)由(1)知an=pn,则bn+1-bn=logpa2n-1=2n-1,
所以bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)++(b2-b1)+b1=n2-2n+2,
所以n2-2n+2(1-)(3n-2),则(3n-2)+n2-5n+40在[0,1]时恒成立.
记f()=(3n-2)+n2-5n+4,由题意知,f00f10,解得n4或n1.又n2,所以n4.
综上可知,k的最小值为4.
高三数学数列练习题答案
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.
1.在等差数列{an}中,若a1+a2+a12+a13=24,则a7为()
A.6B.7C.8D.9
解析:∵a1+a2+a12+a13=4a7=24,∴a7=6.
答案:A
2.若等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足S33-S22=1,则数列{an}的公差是()
A.12B.1C.2D.3
解析:由Sn=na1+n(n-1)2d,得S3=3a1+3d,S2=2a1+d,代入S33-S22=1,得d=2,故选C.
答案:C
3.已知数列a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(n∈N_),则a2011等于()
A.1B.-4C.4D.5
解析:由已知,得a1=1,a2=5,a3=4,a4=-1,a5=-5,a6=-4,a7=1,a8=5,…
故{an}是以6为周期的数列,
∴a2011=a6×335+1=a1=1.
答案:A
4.设{an}是等差数列,Sn是其前n项和,且S5
A.d<0B.a7=0
C.S9>S5D.S6与S7均为Sn的值
解析:∵S5
又S7>S8,∴a8<0.
假设S9>S5,则a6+a7+a8+a9>0,即2(a7+a8)>0.
∵a7=0,a8<0,∴a7+a8<0.假设不成立,故S9
答案:C
5.设数列{an}是等比数列,其前n项和为Sn,若S3=3a3,则公比q的值为()
A.-12B.12
C.1或-12D.-2或12[
解析:设首项为a1,公比为q,
则当q=1时,S3=3a1=3a3,适合题意.
当q≠1时,a1(1-q3)1-q=3?a1q2,
∴1-q3=3q2-3q3,即1+q+q2=3q2,2q2-q-1=0,
解得q=1(舍去),或q=-12.
综上,q=1,或q=-12.
答案:C
6.若数列{an}的通项公式an=5?252n-2-4?25n-1,数列{an}的项为第x项,最小项为第y项,则x+y等于()
A.3B.4C.5D.6
解析:an=5?252n-2-4?25n-1=5?25n-1-252-45,
∴n=2时,an最小;n=1时,an.
此时x=1,y=2,∴x+y=3.
答案:A
7.数列{an}中,a1=15,3an+1=3an-2(n∈N_),则该数列中相邻两项的乘积是负数的是()
A.a21a22B.a22a23C.a23a24D.a24a25
解析:∵3an+1=3an-2,
∴an+1-an=-23,即公差d=-23.
∴an=a1+(n-1)?d=15-23(n-1).
令an>0,即15-23(n-1)>0,解得n<23.5.
又n∈N_,∴n≤23,∴a23>0,而a24<0,∴a23a24<0.
答案:C
8.某工厂去年产值为a,计划今后5年内每年比上年产值增加10%,则从今年起到第5年,这个厂的总产值为()
A.1.14aB.1.15a
C.11×(1.15-1)aD.10×(1.16-1)a
解析:由已知,得每年产值构成等比数列a1=a,w
an=a(1+10%)n-1(1≤n≤6).
∴总产值为S6-a1=11×(1.15-1)a.
答案:C
9.已知正数组成的等差数列{an}的前20项的和为100,那么a7?a14的值为()
A.25B.50C.100D.不存在
解析:由S20=100,得a1+a20=10.∴a7+a14=10.
又a7>0,a14>0,∴a7?a14≤a7+a1422=25.
答案:A
10.设数列{an}是首项为m,公比为q(q≠0)的等比数列,Sn是它的前n项和,对任意的n∈N_,点an,S2nSn()
A.在直线mx+qy-q=0上
B.在直线qx-my+m=0上
C.在直线qx+my-q=0上
D.不一定在一条直线上
解析:an=mqn-1=x,①S2nSn=m(1-q2n)1-qm(1-qn)1-q=1+qn=y,②
由②得qn=y-1,代入①得x=mq(y-1),即qx-my+m=0.
答案:B
11.将以2为首项的偶数数列,按下列方法分组:(2),(4,6),(8,10,12),…,第n组有n个数,则第n组的首项为()
A.n2-nB.n2+n+2
C.n2+nD.n2-n+2
解析:因为前n-1组占用了数列2,4,6,…的前1+2+3+…+(n-1)=(n-1)n2项,所以第n组的首项为数列2,4,6,…的第(n-1)n2+1项,等于2+(n-1)n2+1-1?2=n2-n+2.
答案:D
12.设m∈N_,log2m的整数部分用F(m)表示,则F(1)+F(2)+…+F(1024)的值是()
A.8204B.8192
C.9218D.以上都不对
解析:依题意,F(1)=0,
F(2)=F(3)=1,有2个
F(4)=F(5)=F(6)=F(7)=2,有22个.
F(8)=…=F(15)=3,有23个.
F(16)=…=F(31)=4,有24个.
…
F(512)=…=F(1023)=9,有29个.
F(1024)=10,有1个.
故F(1)+F(2)+…+F(1024)=0+1×2+2×22+3×23+…+9×29+10.
令T=1×2+2×22+3×23+…+9×29,①
则2T=1×22+2×23+…+8×29+9×210.②
①-②,得-T=2+22+23+…+29-9×210=
2(1-29)1-2-9×210=210-2-9×210=-8×210-2,
∴T=8×210+2=8194,m]
∴F(1)+F(2)+…+F(1024)=8194+10=8204.
答案:A
第Ⅱ卷(非选择共90分)
二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.
13.若数列{an}满足关系a1=2,an+1=3an+2,该数列的通项公式为__________.
解析:∵an+1=3an+2两边加上1得,an+1+1=3(an+1),
∴{an+1}是以a1+1=3为首项,以3为公比的等比数列,
∴an+1=3?3n-1=3n,∴an=3n-1.
答案:an=3n-1
14.已知公差不为零的等差数列{an}中,M=anan+3,N=an+1an+2,则M与N的大小关系是__________.
解析:设{an}的公差为d,则d≠0.
M-N=an(an+3d)-[(an+d)(an+2d)]
=an2+3dan-an2-3dan-2d2=-2d2<0,∴M
答案:M
15.在数列{an}中,a1=6,且对任意大于1的正整数n,点(an,an-1)在直线x-y=6上,则数列{ann3(n+1)}的前n项和Sn=__________.
解析:∵点(an,an-1)在直线x-y=6上,
∴an-an-1=6,即数列{an}为等差数列.
∴an=a1+6(n-1)=6+6(n-1)=6n,
∴an=6n2.
∴ann3(n+1)=6n2n3(n+1)=6n(n+1)=61n-1n+1
∴Sn=61-12+12-13+…+1n-1n+1.=61-1n+1=6nn+1.
答案:6nn+1
16.观察下表:
1
234
34567
45678910
…
则第__________行的各数之和等于20092.
解析:设第n行的各数之和等于20092,
则此行是一个首项a1=n,项数为2n-1,公差为1的等差数列.
故S=n×(2n-1)+(2n-1)(2n-2)2=20092,解得n=1005.
答案:1005
三、解答题:本大题共6小题,共70分.
17.(10分)已知数列{an}中,a1=12,an+1=12an+1(n∈N_),令bn=an-2.
(1)求证:{bn}是等比数列,并求bn;
(2)求通项an并求{an}的前n项和Sn.
解析:(1)∵bn+1bn=an+1-2an-2=12an+1-2an-2=12an-1an-2=12,
∴{bn}是等比数列.
∵b1=a1-2=-32,
∴bn=b1qn-1=-32×12n-1=-32n.
(2)an=bn+2=-32n+2,
Sn=a1+a2+…+an
=-32+2+-322+2+-323+2+…+-32n+2
=-3×12+122+…+12n+2n=-3×12×1-12n1-12+2n=32n+2n-3.
18.(12分)若数列{an}的前n项和Sn=2n.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足b1=-1,bn+1=bn+(2n-1),且cn=an?bnn,求数列{cn}的通项公式及其前n项和Tn.
解析:(1)由题意Sn=2n,
得Sn-1=2n-1(n≥2),
两式相减,得an=2n-2n-1=2n-1(n≥2).
当n=1时,21-1=1≠S1=a1=2.
∴an=2(n=1),2n-1(n≥2).
(2)∵bn+1=bn+(2n-1),
∴b2-b1=1,
b3-b2=3,
b4-b3=5,
…
bn-bn-1=2n-3.
以上各式相加,得
bn-b1=1+3+5+…+(2n-3)
=(n-1)(1+2n-3)2=(n-1)2.
∵b1=-1,∴bn=n2-2n,
∴cn=-2(n=1),(n-2)×2n-1(n≥2),
∴Tn=-2+0×21+1×22+2×23+…+(n-2)×2n-1,
∴2Tn=-4+0×22+1×23+2×24+…+(n-2)×2n.
∴-Tn=2+22+23+…+2n-1-(n-2)×2n
=2(1-2n-1)1-2-(n-2)×2n
=2n-2-(n-2)×2n
=-2-(n-3)×2n.
∴Tn=2+(n-3)×2n.
19.(12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d≠0,且S3+S5=50,a1,a4,a13成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若从数列{an}中依次取出第2项,第4项,第8项,…,第2n项,…,按原来顺序组成一个新数列{bn},记该数列的前n项和为Tn,求Tn的表达式.
解析:(1)依题意,得
3a1+3×22d+5a1+5×42d=50,(a1+3d)2=a1(a1+12d),解得a1=3,d=2.
∴an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1,
即an=2n+1.
(2)由已知,得bn=a2n=2×2n+1=2n+1+1,
∴Tn=b1+b2+…+bn
=(22+1)+(23+1)+…+(2n+1+1)
=4(1-2n)1-2+n=2n+2-4+n.
20.(12分)设数列{an}的前n项和为Sn,且ban-2n=(b-1)Sn.
(1)证明:当b=2时,{an-n?2n-1}是等比数列;
(2)求通项an
解析:由题意知,a1=2,且ban-2n=(b-1)Sn,
ban+1-2n+1=(b-1)Sn+1,
两式相减,得b(an+1-an)-2n=(b-1)an+1,
即an+1=ban+2n.①
(1)当b=2时,由①知,an+1=2an+2n.
于是an+1-(n+1)?2n=2an+2n-(n+1)?2n
=2an-n?2n-1.
又a1-1?20=1≠0,
∴{an-n?2n-1}是首项为1,公比为2的等比数列.
(2)当b=2时,
由(1)知,an-n?2n-1=2n-1,即an=(n+1)?2n-1
当b≠2时,由①得
an+1-12-b?2n+1=ban+2n-12-b?2n+1=ban-b2-b?2n
=ban-12-b?2n,
因此an+1-12-b?2n+1=ban-12-b?2n=2(1-b)2-b?bn.
得an=2,n=1,12-b[2n+(2-2b)bn-1],n≥2.
21.(12分)某地在抗洪抢险中接到预报,24小时后又一个超历史水位的洪峰到达,为保证万无一失,抗洪指挥部决定在24小时内另筑起一道堤作为第二道防线.经计算,如果有20辆大型翻斗车同时作业25小时,可以筑起第二道防线,但是除了现有的一辆车可以立即投入作业外,其余车辆需从各处紧急抽调,每隔20分钟就有一辆车到达并投入工作.问指挥部至少还需组织多少辆车这样陆续工作,才能保证24小时内完成第二道防线,请说明理由.
解析:设从现有这辆车投入工作算起,各车的工作时间依次组成数列{an},则an-an-1=-13.
所以各车的工作时间构成首项为24,公差为-13的等差数列,由题知,24小时内最多可抽调72辆车.
设还需组织(n-1)辆车,则
a1+a2+…+an=24n+n(n-1)2×-13≥20×25.
所以n2-145n+3000≤0,
解得25≤n≤120,且n≤73.
所以nmin=25,n-1=24.
故至少还需组织24辆车陆续工作,才能保证在24小时内完成第二道防线.
22.(12分)已知点集L={(x,y)|y=m?n},其中m=(2x-2b,1),n=(1,1+2b),点列Pn(an,bn)在点集L中,P1为L的轨迹与y轴的交点,已知数列{an}为等差数列,且公差为1,n∈N_.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(3)设cn=5n?an?|PnPn+1|(n≥2),求c2+c3+c4+…+cn的值.
解析:(1)由y=m?n,m=(2x-2b,1),n=(1,1+2b),
得y=2x+1,即L:y=2x+1.
∵P1为L的轨迹与y轴的交点,
∴P1(0,1),则a1=0,b1=1.
∵数列{an}为等差数列,且公差为1,
∴an=n-1(n∈N_).
代入y=2x+1,得bn=2n-1(n∈N_).
(2)∵Pn(n-1,2n-1),∴Pn+1(n,2n+1).
=5n2-n-1=5n-1102-2120.
∵n∈N_,
(3)当n≥2时,Pn(n-1,2n-1),
∴c2+c3+…+cn
=1-12+12-13+…+1n-1-1n=1-1n.
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