方阵行列式的性质
行列式A中某行(或列)用同一数k乘，其结果等于kA;行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。行列式A中两行(或列)互换，其结果等于-A。把行列式A的某行(或列)中各元同乘一数后加到另一行(或列)中各对应元上，结果仍然是A。
若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列)，一个是b1，b2，…，bn;另一个是с1，с2，…，сn;其余各行(或列)上的元与|αij|的完全一样。
行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或|A|。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中(比如说换元积分法中)，行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。
方阵的行列式是一个数学名词。由n阶方阵A的元素所构成的行列式(各元素的位置不变)，称为方阵A的行列式，记作|A|或detA。方阵与行列式是两个不同的概念。n阶方阵是n×n个数字按n行n列排列成的数表，方阵首先是矩阵。行列式是这些数字按行列式运算法则所确定的一个数。
初等矩阵都是可逆矩阵吗
初等矩阵都是可逆矩阵。是否可逆看它的行列式是否为零，因为初等矩阵行列式都为1，所以都可逆。初等矩阵是一个n阶单位矩阵E经过一次初等行变换。从正交矩阵的构成定理来看，要求矩阵里的每个元素的绝对值都不能够大于1，三类二阶及以上初等矩阵除掉单位矩阵显然均不会满足这一点。
首先，初等矩阵都可逆，其次，初等矩阵的逆矩阵其实是一个同类型的初等矩阵(可看作逆变换)。例如，交换矩阵中某两行(列)的位置;用一个非零常数k乘以矩阵的某一行(列);将矩阵的某一行(列)乘以常数k后加到另一行(列)上去。若某初等矩阵左乘矩阵A，则初等矩阵会将原先施加到单位矩阵E上的变换，按照同种形式施加到矩阵A之上。或者说，想对矩阵A做变换，但是不是直接对矩阵A去做处理，而是通过一种间接方式去实现。
初等行变换不影响线性方程组的解，也可用于高斯消元法，用于逐渐将系数矩阵化为标准形。初等行变换不改变矩阵的核(故不改变解集)，但改变了矩阵的像。反过来，初等列变换没有改变像却改变了核。
矩阵与其转置的乘积是什么
矩阵与其转置的乘积等于其本身。只有对称矩阵，反对称矩阵和正交矩阵满足矩阵的转置乘以矩阵，等于矩阵乘以矩阵的转置。如果矩阵不是方阵：转置矩阵与原矩阵的乘积是一个方阵，阶数为原矩阵Amxn的列数n;原矩阵与转置矩阵的乘积是一个方阵，阶数为原矩阵的行数m。
如果矩阵是方阵：
对称矩阵(转置矩阵=原矩阵)的转置矩阵与原矩阵的乘法满足交换律。
反对称矩阵(转置矩阵=原矩阵的负矩阵)的转置矩阵与原矩阵的乘法满足交换律。
正交矩阵(逆矩阵=转置矩阵)的转置矩阵与原矩阵的乘法满足交换律。
将矩阵的行列互换得到的新矩阵称为转置矩阵，转置矩阵的行列式不变。
对称矩阵是指元素以主对角线为对称轴对应相等的矩阵。在线性代数中，对称矩阵是一个方形矩阵，其转置矩阵和自身相等。
对于任何方形矩阵X，X+XT是对称矩阵。
A为方形矩阵是A为对称矩阵的必要条件。
对角矩阵都是对称矩阵。
两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。
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