《因式分解》教学设计1
教学准备
教学目标
知识与能力
1．了解多项式公因式的意义，初步会用提公因式法分解因式；
2．通过找公因式，培养观察能力．
过程与方法
1．了解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法的关系；
2．了解公因式概念和提取公因式的方法；会用提取公因式法分解因式．
情感态度与价值观
1．在探索提公因式法分解因式的过程中学会逆向思维，渗透化归的思想方法；
2．培养观察、联想能力，进一步了解换元的思想方法；
教学重难点
重点：能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来．
难点： 识别多项式的公因式．
教学过程
一、 新课导入
请同学们想一想？993－99能被100整除吗？
解法一：993－99=970299－99
=970200
解法二：993－99=99（992－1）
=99（99＋1）（99－1）
=100×99×98
=970200
（1）已知：x=5，a-b=3，求ax2-bx2的值．
（2）已知：a=101，b=99，求a2-b2的值．
你能说说算得快的原因吗？
解：（1） ax2-bx2=x2（a－b）
=25×3=75．
（2） a2-b2=（a＋b）（a－b）
=（101＋99）（101－99）
=400
二、新知探究
1、做一做：
计算下列各式：
①3x(x-2)= __3x2-6x
②m(a+b+c)= ma+mb+mc
③(m+4)(m-4)= m2-16
④(x-2)2= x2-4x+4
⑤a(a+1)(a-1)= a3-a
根据左面的算式填空：
①3x2-6x=(_3x__)(_x-2__)
②ma+mb+mc=(_m_)(a+b+c_)
③m2-16=(_m+4)(m-4_)
④x2-4x+4=(x-2)2
⑤a3-a=(a)(a+1)(a-1)
左边一组的变形是什么运算？右边的变形与这种运算有什么不同？右边变形的结果有什么共同的特点？
总结： 把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
整式乘法 因式分解与整式乘法是互逆过程 因式分解
在am＋bm=m(a+b)中，m叫做多项式各项的公因式．
公因式：
即每个单项式都含有的相同的因式．
提公因式法：
如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成乘积的形式．这种分解因式的方法叫做提公因式法．
确定公因式的方法：
（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；
（2）字母取多项式各项中都含有的相同的字母；
（3）相同字母的指数取各项中最小的一个，即最低次幂．
三、例题分析
例1 把12a4b3+16a2b3c2分解因式．
解：12a4b3+16a2b3c2
=4a2b3·3a2+ 4a2b3 ·4c2
= 4a2b3 (3a2 + 4c2)
提公因式后，另一个因式：
①项数应与原多项式的项数一样；
②不再含有公因式．
例2 把2ac(b+2c)- (b+2c)分解因式．
解：2ac(b+2c) －(b+2c)
= (b+2c)(2ac-1)
公因式可以是数字、字母，也可以是单项式，还可以是多项式．
例3 把－x3＋x2－x分解因式．
解：原式＝－(x3－x2＋x)
＝－x(x2－x＋1)
多项式的第一项是系数为负数的项，一般地，应提出负系数的公因式．但应注意，这时留在括号内的每一项的符号都要改变，且最后一项“－x”提出时，应留有一项“＋1”，而不能错解为－x(x2－x)．
四、当堂训练
1．（1）9x3y3－12x2y＋18xy3中各项的公因式是 3xy_.
（2）5x2－25x的公因式为 5x .
（3）－2ab2＋4a2b3的公因式为-2ab2.
（4）多项式x2－1与(x－1)2的公因式是x-1．
2．如果(x+y)(x2-xy+y2)-(x+y)xy有公因式(x+y)，那么另外的因式是 (x-y)2
课后小结
1．分解因式
把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做分解因式，分解因式和整式乘法互为逆运算．
2．确定公因式的方法
一看系数 二看字母 三看指数
3．提公因式法分解因式步骤（分两步）
第一步 找出公因式；
第二步 提公因式.
4．用提公因式法分解因式应注意的问题
（1）公因式要提尽；
（2）某一项全部提出时，这一项除以公因
式时的商是1，这个1不能漏掉；
（3）多项式的首项取正号．
板书
一、因式分解
把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
二、提公因式法
如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成乘积的形式．这种分解因式的方法叫做提公因式法．
am＋bm=m(a+b)
二、例题分析
例1、
例2、
例3、
三、当堂训练
《因式分解》教学设计2
一、内容和内容解析
1.内容
用因式分解法解一元二次方程.
2.内容解析
教材通过实际问题得到方程
，让学生思考解决方程的方法除了之前所学习过的配方法和公式法以外，是否还有更简单的方法解方程，接着思考为什么用这种方法可以求出方程的解，从而引出本节课的教学内容.
解一元二次方程的基本策略是降次，因式分解法将一个一元二次方程转化为两个一次式的.乘积为零，是解某些一元二次方程较为简便灵活的一种特殊方法.体现了降次的思想，这种思想在以后处理高次方程时也很重要.
基于以上分析，确定出本节课的教学重点：会用因式分解法解特殊的一元二次方程.
二、目标和目标解析
1.教学目标
(1)了解用因式分解法解一元二次方程的概念;会用因式分解法解一元二次方程;
(2)学会观察方程特征，选用适当方法解决一元二次方程.
2.目标解析
(1)学生能理解因式分解法的概念，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤，会利用因式分解求解特殊的一元二次方程;
(2)学生通过对比一元二次方程的结构类型，选用适当的方法合理的解方程，增强解决问题的灵活性.
三、教学问题诊断分析
学生在此之前已经学过了用配方法和公式法求一元二次方程的解，然后通过实际问题，获得一个显然可以用“提取公因式法”而达到“降次”目的的方程，从而引出因式分解法解一元二次方程，体现了从简单的、特殊的问题出发，通过逐步推广而获得复杂的、一般的问题，符合学生的认知规律.
在实际的教学中，学生在利用因式分解法解方程式往往会在因式分解上存在着一定的困难，从而不能将方程化成两个一次式乘积的形式.另外在面对一元二次方程时，缺乏对方程结构的观察，从而在方法的选择上欠佳，缺乏解决问题的灵活性，增加了计算的难度，降低了计算的准确性.为了突破这一难点，应带领学生认真观察方程的结构，对比方法的难易简便，从而选择合理的方法解决一元二次方程.
本节课的难点：学会观察方程特征，选用适当方法解决一元二次方程.
四、教学过程设计
1.创设情景，引出问题
问题一 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s离地面的高度(单位：m)为
.根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)?
师生活动：学生积极思考并尝试列方程，可有学生解释如何理解“落回地面”.
【设计意图】学生首先要理解实际问题背景下代数式的意义，理解落回地面的意义就是高度为零，就是表示高度的代数式的值为零，从而列出方程.在阅读并尝试回答的过程中让他们感受在生活、生产中需要用到方程，从而激发学生的求知欲.
2.观察感知，理解方法
问题二 如何求出方程的解呢?
师生活动：学生从已有的知识出发，考虑用配方法和公式法解决问题，教师再一步引导学生观察方程的结构，学生进行深入的思考，努力发现因式分解法方法解方程.
【设计意图】通过配方法和公式法的选择，更好地让学生对比感受因式分解法的简便，为本节课的教学内容做好知识上的铺垫和准备.
问题三 如果，则有什么结论?对于你解方程有什么启发吗?
师生活动：学生很容易回答有或的结论.由此进一步思考如何将一元二次方程化为两个一次式的乘积.
【设计意图】通过观察，引导学生进一步思考，发现用因式分解中提取公因式法解方程更加简便，从而学生会对方法的选择有一定的理解.
问题四 上述方法是是如何将一元二次方程降为一次的?
师生活动：学生通过对解决问题过程的反思，体会到通过提取公因式将一元二次方程化为了两个一次式的乘积的形式，得到两个一元一次方程，教师注重引导学生观察方程在因式分解过程中的变化，在学生总结发言的过程中适当引导.
【设计意图】让学生对比不同解法，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种节一元二次方程的方法叫做因式分解法.在反思小结的过程中，理解因式分解法的意义，从而引出本节课的教学内容.
3.例题示范，灵活运用
例 解下列方程
(1)
(2)
师生活动：提问：
(1)如何求出方程(1)的解呢?说说你的方法.
(2)对比解法，说说各种解法的特点.
学生积极思考，积极回答问题，对比解法的不同.
【设计意图】问题(1)的提出是开放式的，学生可能会回答将括号打开，然后利用配方法或公式法，也有些学生会观察到如果将
当作一个整体，利用提取公因式的方法直接就化为两个一次式乘积为零的形式.通过问题(2)的思考讨论，让学生体会解法的利弊，注重观察方程自身的结构.
师生活动：提问：(1)方程(2)与方程(1)对比，在结构上有什么不同?
(2)谈谈方程(2)的解法.
学生观察方程(2)与方程(1)的区别，用类比划归的思想解决问题.
【设计意图】问题(2)的方程需要先进行移项，将方程化为右侧等于零的结构，然后得到一个平方差的结构，利用平方差公式将一元二次方程化为两个一次式的乘积为零的结构.
4.巩固练习，学以致用
完成教材P14练习1，2.
【设计意图】巩固性练习，同时检验一元二次方程解法掌握情况.
5.小结提升，深化理解
问题五 (1)因式分解法的一般步骤是什么?
(2)请大家总结三种解法的联系与区别.
师生活动：学生积极思考，归纳因式分解法的一般步骤.总结各种解题方法的特点，体会各种方法的利弊，在交流的过程中加深对解一元二次方程方法的理解，教师对学生的发言给予鼓励和肯定，对于小结交流中的出现的问题及时进行引导纠正，帮助学生深入理解问题.
【设计意图】学生通过小结反思，深化对问题的理解，体会到配方法需要将方程进行配方降次，公式法需要将方程化为一般形式后利用求根公式求解;而因式分解法需要将一元二次方程化为两个一次项乘积为零的形式;另在还让学生体会到配方法和公式法适用于所有方程，但有时计算量比较大，因式分解法适用于一部分一元二次方程，但是三种方法都体现了降次的基本思想.
五、目标检测设计
解下列方程
1.
【设计意图】利用提取公因式法解方程.
2.
【设计意图】利用平方差公式解方程.
3.
【设计意图】利用因式分解法不适合的方程可选择用公式法或配方法解决.
4.
【设计意图】选用适当的方法解方程.
《因式分解》教学设计3
教学目标
认知目标：
（1）理解因式分解的概念和意义
（2）认识因式分解与整式乘法的相互关系——相反变形，并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。
能力目标：由学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析、判断能力和创新能力，发展学生智能，深化学生逆向思维能力和综合运用能力。
情感目标：培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度。
目标制定的思想
1．目标具体化、明确化，从学生实际出发，具有针对性和可行性，同时便于上课操作，便于检测和及时反馈。
2．课堂教学体现能力立意。
3．寓德育教学方法
1．采用以设疑探究的引课方式，激发学生的求知欲望，提高学生的学习兴趣和学习积极性。
2．把因式分解概念及其与整式乘法的关系作为主线，训练学生思维，以设疑——感知——概括——运用为教学程序，充分遵循学生的认知规律，使学生能顺利地掌握重点，突破难点，提高能力。
3．在课堂教学中，引导学生体会知识的发生发展过程，坚持启发式，鼓励学生充分地动脑、动口、动手，积极参与到教学中来，充分体现了学生的主动性原则。
4．在充分尊重教材的前提下，融教材练习、想一想于教学过程中，增设了由浅入深、各不相同却又紧密相关的训练题目，为学生顺利掌握因式分解概念及其与整式乘法关系创造了有利条件。
教学过程安排
一、提出问题，创设情境
问题：看谁算得快？
(1)若a=101,b=99,则a2-b2=(a+b)(a-b)=(101+99)(101-99)=400
(2)若a=99,b=-1,则a2-2ab+b2=(a-b) 2=(99+1)2 =10000
(3)若x=-3,则20x2+60x=20x（x+3）=20x(-3)(-3+3)=0
二、观察分析，探究新知
(1)请每题想得最快的同学谈思路，得出最佳解题方法
(2)观察：a2-b2=(a+b)(a-b) ①的左边是一个什么式子？右边又是什么形式？
a2-2ab+b2 =(a-b) 2 ②
20x2+60x=20x(x+3) ③
(3)类比小学学过的因数分解概念，（例42=2×3×7 ④）得出因式分解概念。
板书课题： 因式分解
1．因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解，也叫分解因式。
三、独立练习，巩固新知
练习
1．下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？
①（x+2）（x-2）=x2-4
②x2-4=（x+2）（x-2）
③a2-2ab+b2=（a-b）2
④3a（a+2）=3a2+6a
⑤3a2+6a=3a（a+2）
2．因式分解与整式乘法的关系：
因式分解
结合：a2-b2=========（a+b）（a-b）
整式乘法
说明：从左到右是因式分解其特点是：由和差形式（多项式）转化成整式的积的形式；从右到左是整式乘法其特点是：由整式积的形式转化成和差形式（多项式）。
(2)∵xy( )=2x2y-6xy2
∴2x2y-6xy2=xy( )
(3)∵2x( )=2x2y-6xy2
∴2x2y-6xy2=2x( )
四、强化训练，掌握新知：
练习3：把下列各式分解因式：
(1)2ax+2ay (2)3mx-6nx (3) x2y+xy2
(4) x2+-x (5) x2-0.01
（让学生上来板演）
五、整理知识，形成结构（即课堂小结）
1．因式分解的概念 因式分解是整式中的一种恒等变形
2．因式分解与整式乘法是两种相反的恒等变形，也是思维方向相反的两种思维方式，因此，因式分解的思维过程实际也是整式乘法的逆向思维的过程。
3．利用2中关系，可以从整式乘法探求因式分解的结果。
4．教学中渗透对立统一，以不变应万变的辩证唯物主义的思想方法。
六、布置作业
1．作业本（一）中§7.1节
评价与反馈
1．通过由学生自己得出因式分解概念及其与整式乘法的关系的结论，了解学生观察、分析问题的能力和逆向思维能力及创新能力。发现问题，及时反馈。
2．通过例题及练习，了解学生对概念的理解程度和实际运用能力，最大限度地让学生暴露问题和认知误差，及时发现和弥补教与学中的遗漏和不足，从而及时调控教与学。
七．课堂小结，了解学生对概念的熟悉程度和归纳概括能力、语言表达能力、知识运用能力，教师恰当地给予引导和启迪
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