双曲线的几何性质教案1
㈠课时目标
1．熟悉双曲线的几何性质。
2．能理解离心率的大小对双曲线形状的影响。
3．能运用双曲线的几何性质或图形特征，确定焦点的位置，会求双曲线的标准方程。
㈡教学过程
[情景设置]
叙述椭圆的几何性质，并填写下表：
方程
性质
图像（略）
范围-a≤x≤a，-b≤y≤b
对称性对称轴、对称中心
顶点（±a,0）、（±b,0）
离心率e=(几何意义)
[探索研究]
1．类比椭圆的几何性质，探讨双曲线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率。
双曲线的实轴、虚轴、实半轴长、虚半轴长及离心率的定义。
双曲线与椭圆的几何性质对比如下：
方程
性质
图像（略）（略）
范围-a≤x≤a，-b≤y≤bx≥a,或x≤-a,y∈R
对称性对称轴、对称中心对称轴、对称中心
顶点（±a,0）、（±b,0）（-a,0）、（a,0）
离心率0＜e=＜1
e=＞1
下面继续研究离心率的几何意义：
（a、b、c、e关系：c2=a2+b2, e=＞1）
2.渐近线的发现与论证
根据椭圆的上述四个性质，能较为准确地把画出来吗？（能）
根据上述双曲线的四个性质，能较为准确地把画出来吗？（不能）
通过列表描点，能把双曲线的顶点及附近的点，比较精确地画出来，但双曲线向何处伸展就不很清楚。
我们能较为准确地画出曲线y=,这是为什么？（因为当双曲线伸向远处时，它与x轴、y轴无限接近）此时，x轴、y轴叫做曲线y=的渐近线。
问：双曲线有没有渐近线呢？若有，又该是怎样的直线呢？
引导猜想：在研究双曲线的范围时，由双曲线的标准方程可解出：
y=± =±
当x无限增大时，就无限趋近于零，也就是说，这是双曲线y=±
与直线y=±无限接近。
这使我们猜想直线y=±为双曲线的渐近线。
直线y=±恰好是过实轴端点A1、A2，虚轴端点B1、B2，作平行于坐标轴的直线x=±a, y=±b所成的矩形的两条对角线，那么，如何证明双曲线上的点沿曲线向远处运动时，与渐近线越来越接近呢？显然，只要考虑第一象限即可。
证法1：如图，设M（x0,y0）为第一象限内双曲线上的仍一点，则
y0=，M（x0,y0）到渐近线ay-bx=0的距离为：
∣MQ∣= =
=．
点M向远处运动，x0随着增大，∣MQ∣就逐渐减小，M点就无限接近于y=
故把y=±叫做双曲线的渐近线。
3．离心率的几何意义
∵e=，c＞a, ∴e＞1由等式c2-a2=b2,可得===
e越小（接近于1）越接近于0，双曲线开口越小（扁狭）
e越大越大，双曲线开口越大（开阔）
4．巩固练习
求下列双曲线的渐近线方程，并画出双曲线。
①4x2-y2=4 ②4x2-y2=-4
已知双曲线的渐近线方程为x±2y=0，分别求出过以下各点的双曲线方程
①M（4，）②M（4，）
[知识应用与解题研究]
例1求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。
例2双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转而成的曲面，如图；它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高为55m,选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m）
㈣提炼总结
1.双曲线的几何性质及a、b、c、e的关系。
2.渐近线是双曲线特有的性质，其发现证明蕴含了重要的数学思想与数学方法。
3.双曲线的几何性质与椭圆的几何性质类似点和不同点。
双曲线的几何性质教案2
双曲线的几何性质（第1课时）
㈠课时目标
1．熟悉双曲线的几何性质。
2．能理解离心率的大小对双曲线形状的影响。
3．能运用双曲线的几何性质或图形特征，确定焦点的位置，会求双曲线的标准方程。
㈡教学过程[情景设置]
叙述椭圆 的几何性质，并填写下表：方程性质
图像（略）范围-a≤x≤a，-b≤y≤b对称性对称轴、对称中心顶点（±a,0）、（±b,0）离心率e=(几何意义)
[探索研究]1．类比椭圆 的几何性质，探讨双曲线 的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率。 双曲线的实轴、虚轴、实半轴长、虚半轴长及离心率的定义。双曲线与椭圆的几何性质对比如下： 方程性质
图像（略） （略）范围-a≤x≤a，-b≤y≤bx≥a,或x≤-a,y∈R对称性对称轴、对称中心对称轴、对称中心顶点（±a,0）、（±b,0）（-a,0）、（a,0）离心率0＜e=＜1e=＞1
下面继续研究离心率的几何意义：（a、b、c、e关系：c2=a2+b2, e=＞1）
2.渐近线的发现与论证根据椭圆的上述四个性质，能较为准确地把 画出来吗？（能）根据上述双曲线的四个性质，能较为准确地把 画出来吗？（不能）通过列表描点，能把双曲线的顶点及附近的点，比较精确地画出来，但双曲线向何处伸展就不很清楚。我们能较为准确地画出曲线y=,这是为什么？（因为当双曲线伸向远处时，它与x轴、y轴无限接近）此时，x轴、y轴叫做曲线y=的渐近线。问：双曲线 有没有渐近线呢？若有，又该是怎样的直线呢？引导猜想：在研究双曲线的范围时，由双曲线的标准方程可解出：y=± =± 当x无限增大时， 就无限趋近于零，也就是说，这是双曲线y=± 与直线y=± 无限接近。这使我们猜想直线y=± 为双曲线的渐近线。直线y=± 恰好是过实轴端点A1、A2，虚轴端点B1、B2，作平行于坐标轴的直线x=±a, y=±b所成的矩形的两条对角线，那么，如何证明双曲线上的点沿曲线向远处运动时，与渐近线越来越接近呢？显然，只要考虑第一象限即可。证法1：如图，设M（x0,y0）为第一象限内双曲线 上的仍一点，则y0= ，M（x0,y0）到渐近线ay-bx=0的距离为：∣MQ∣= == ． 点M向远处运动， x0随着增大，∣MQ∣就逐渐减小，M点就无限接近于 y=故把y=± 叫做双曲线 的渐近线。
3．离心率的几何意义∵e=，c＞a, ∴e＞1由等式c2-a2=b2,可得 ===e越小（接近于1） 越接近于0，双曲线开口越小（扁狭）e越大 越大，双曲线开口越大（开阔）
4．巩固练习 求下列双曲线的渐近线方程，并画出双曲线。 ①4x2-y2=4 ②4x2-y2=-4 已知双曲线的渐近线方程为x±2y=0，分别求出过以下各点的双曲线方程 ①M（4， ） ②M（4， ）[知识应用与解题研究]例 1 求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。例2 双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转而成的曲面，如图；它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高为55m,选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m）
㈣提炼总结
1.双曲线的几何性质及a、b、c、e的关系。
2.渐近线是双曲线特有的性质，其发现证明蕴含了重要的数学思想与数学方法。
3.双曲线的`几何性质与椭圆的几何性质类似点和不同点。
双曲线的几何性质教案3
一、课前预习目标
理解并掌握双曲线的几何性质，并能从双曲线的标准方程出发，推导出这些性质，并能具体估计双曲线的形状特征。
二、预习内容
1、双曲线的几何性质及初步运用。
类比椭圆的几何性质。
2。双曲线的渐近线方程的导出和论证。
观察以原点为中心，2a、2b长为邻边的矩形的两条对角线，再论证这两条对角线即为双曲线的渐近线。
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
课内探究
1、椭圆与双曲线的几何性质异同点分析
2、描述双曲线的渐进线的作用及特征
3、描述双曲线的离心率的作用及特征
4、例、练习尝试训练：
例1。求双曲线9y2—16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。
解：
解：
5、双曲线的第二定义
1）、定义（由学生归纳给出）
2）、说明
（七）小结（由学生课后完成）
将双曲线的几何性质按两种标准方程形式列表小结。
作业：
1、已知双曲线方程如下，求它们的两个焦点、离心率e和渐近线方程。
（1）16x2—9y2=144；
（2）16x2—9y2=—144。
2、求双曲线的标准方程：
（1）实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；
（2）焦距是10，虚轴长是8，焦点在y轴上；
曲线的方程。
点到两准线及右焦点的距离。
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